具有多重微观尺度的均匀化问题解的收敛率

In the composite, some physical parameters may vary between the different values of the characteristics of its components. In practice, one is interested to know the global behavior of the composite material when the heterogeneities are very small. This formulation initiated a new mathematical discipline called homogenization problems. In this project, we will study the convergence rates of solutions for multiple micro-scale homogenization problems. We use the multiple-scale and asymptotic expansion methods together with the growth estimates about Green functions for operators and obtain the L^{p} convergence rate when we deal with reiterated homogenization problems with oscillating operators. In addition, we will explore the homogenization problems with both oscillating operators and boundary data. We obtain the pointwise convergence and W^{1,p} convergence rate through the approach of Fourier expansion as well as Vitali's covering and estimates of oscillating integral. The targets of this project contains two parts: one is to present a system of related theorems. The influence of multiple micro-scale to convergence rates is cognized fundamentally. The other is to develop new techniques and methods for studying multiple micro-scale homogenization problems. These theorems, techniques and methods will be widely applied in the field of architecture, biomechanics, material science, computational mathematics.

在复合材料中，一些物理参数在其不同组成成分中通常取值不同，在实际应用中，人们往往关心的是如何对这些微观结构很复杂的材料进行宏观性质的描述，这就是数学上的均匀化问题。本项目将针对具有多重微观尺度的均匀化问题解的收敛率进行研究。对于算子振荡的重复均匀化问题，以多尺度和渐近展开方法为工具，利用算子Green函数的渐近性估计得到解的L^{p}收敛率；对于算子和边值同时振荡的均匀化问题，使用Fourier展开的方法，利用Vitali覆盖和振荡积分的估计证明解的逐点收敛和W^{1,p}收敛率。项目的研究目标不仅要系统地给出上述问题的相关理论、从根本上认知每重微观尺度对收敛率的影响，更为重要的是发展出一套新的处理具有多重微观尺度的均匀化问题的方法。项目所得到的理论和发展的方法将在建筑学、生物力学、材料科学、计算数学等领域有着广泛的应用。

本项目针对具有多重微观尺度的均匀化问题解的收敛率进行了研究，同时考虑了每重微观尺度对收敛率的影响。对于算子振荡的重复均匀化问题，使用多尺度和渐近展开的方法，利用算子Neumann函数及其导数的渐近性估计得到了解的W^{1, p}收敛率；对于算子和Neumann边值同时振荡的均匀化问题，使用周期函数Fourier展开的方法，通过转化问题，得到了解的W^{1, p}收敛率；对于Neumann边值振荡的均匀化问题，利用Vitali覆盖定理和振荡积分的估计，得到了接近最优的W^{1, p}收敛率；对于区域边界振荡的均匀化问题，利用边值函数Taylor展开同时引入边界校正函数逐步提高了解的H^{1}收敛率；对于2维区域上Dirichlet或Neumann边界条件下的均匀化问题，利用复合形式展开的方法并结合空间的特殊性，得到了解的W^{1, p}收敛率估计。该研究项目不仅系统地得到了相关结论、对每重微观尺度对收敛率的影响增加了一些本质上的认识，而且进一步完善并丰富了偏微分方程均匀化理论，同时还给多微观尺度的均匀化中的其他问题，如解的正则性问题、特征值问题、近似数值解等提供了新的研究思路。