不可压Navier-Stokes方程的适定性与正则性研究

不可压Navier-Stokes方程是描述粘性流体运动的一个非常重要的数学模型。本项目主要对不可压Navier-Stokes方程做两个方面的数学研究。一是在不同的、比以往更大的、新的一类函数空间讨论局部适定性理论；二是讨论Leray-Hopf弱解的正则性准则，包括对速度场的正则性准则的推广、有界区域上关于压力项的正则性理论研究等等。另外，对其它相关流体，如高维的Camassa-Holm方程、MHD方程、Quasi-Geostrophic流，及一些非牛顿流等等进行数学理论研究。同时我们还将对这些模型进行一些数值模拟计算。

本项目旨在研究不可压Navier-Stokes方程及相近的不可压流体方程，其中包括MHD方程，一些非牛顿流以及一类从流体方程导出的浅水波模型。主要是对这些方程做定性的数学研究，包括适定性以及解的正则性理论研究。与数学家Pokorny合作对Navier-Stokes方程关于一个分量的正则性准则研究取得了进一步的结果，推动了该领域的研究。与郭正光及瑞士的著名数学家Wittwer合作，撰写了两篇文章证明了三维外区域空间中稳态的Navier-Stokes问题解的存在性和唯一性，给出了解的渐近描述。据我们所知，这是第一个在三维情形的非平凡尝试。与著名数学家Galdi和Maremonti合作，我们研究了具有非衰减初始值的外区域Navier-Stokes方程，证明了最佳的存在唯一性定理。另外，我们对其它流体模型也做了相应的数学研究。.三年中，共在国际国内重要刊物上正式发表论文21篇，其中包括诸如Journal Nonlinear Science、Mathematical Models and Methods in Applied sciences、Studies in Applied Mathematics等国际一流杂志上。