不可压 Navier-Stokes 方程组的正则性研究

In physics and nonlinear partial differential equations, the regularity theory for the weak solutions is an important but difficult problem. Up to now, the regularity of weak solutions to the incompressible Navier-Stokes equations is still open. During the past 70 years, mathematicians do research on this topic mainly in the following three different ways: the first is to estimate the higher derivatives of the velocity field locally; the second is to dominate the Hausdorff dimension of the singularity set; the third is then to introduce some scaling-invariant regularity criteria. The goal of this project is to establish some regularity criteria involving only partial components of the velocity, the velocity gradient, the vorticity, or the pressure gradient. This could be divided into four parts: (1) is to find several regularity criteria via lesser components; (2) is to derive some combinatory regularity conditions; (3) is to lift the scaling of the regularity criteria as high as possible, with ultimate goal: 3/2; (4) is to weaken the spaces obtained already, with final target: the spaces where the weak solution live.

在物理学与非线性偏微分方程理论中, 弱解的正则性一直是一个重要而困难的问题. 至今为止, 对不可压 Navier-Stokes 方程组弱解的正则性研究还远未完成. 近七十年来,数学家主要从三个方面来探讨正则性问题: 一是给出弱解的高阶导数的局部估计; 二是估计弱解奇异点集合的 Hausdorff 维数; 三是引进对于方程而言尺度不变的正则性条件. 本项目旨在建立速度、速度梯度、旋度、压力梯度等部分分量的正则性标准, 以期对千禧年大奖难题做出贡献: （1） 对尽可能少的分量提正则性条件; （2）探讨速度分量、速度梯度分量、旋度分量、压力梯度分量等的组合型正则性标准; （3）尽可能地把已有标准的尺度抬高到弱解存在空间的尺度; （4）弱化已有标准所考虑的空间, 使之适合弱解.

本项目研究物理与非线性偏微分方程理论中的最重要也是最热门的问题: Navier-Stokes方程组及其相关方程组. 我们从正则性方面讨论该问题. 已经知道弱解是整体存在的, 但是它的正则性在三维的时候却仍然是未知的, 这被列为千禧年大奖难题之一. 本项目研究了正则性准则, 就是在尽可能弱的条件下证明弱解是光滑的. 对照申请书, 我们较好地完成了预期的目标, 改进了不可压 Navier-Stokes 方程组关于速度梯度两个分量的正则性准则, 获得了关于速度 Hessian 两个分量的几乎 Serrin 型准则,关于压力梯度一个分量的几乎 Serrin 型准则, 以及关于速度一个分量梯度在乘子空间中的准则. 另外, 我们探讨了与 Navier-Stokes 方程组相关的不可压磁流体方程组, 因为非线性项的强相互耦合, 我们仅仅得到关于速度和磁场在最低正则的 Besov 空间中的正则性标准, 通过对对流项的分拆, 整合, 我们改进了 Yamazaki 的两个结果, 得到了关于速度两个分量, 一个速度分量及一个电流分量的正则性准则.