幂零系统的结构，回复性与复杂度及其相关问题

Nilsystem is a hot topic in the field of topological dynamics and ergodic theory recently, and recurrence and complexity are important notions for a dynamical system. In this project we focus on the structure, recurrence properties and complexity of nilsystems and their relationship with other related areas. We want to know whether a system with a d step nilpotent enveloping semigroup is a system of order d through the study of the structure of nilspaces. And we want to find a 'good' symbolic coding of a nilsystem, and compute the corresponding symbolic complexity and other types of complexity. Meanwhile，we also want to consider Bohr problem for skew product of an irrational rotation. We hope we can have a better understanding of the related properties of dynamical systems, and the relation with other areas.

幂零系统是近年来拓扑动力系统与遍历理论中的一个热门研究对象，而动力系统的回复性和复杂度都是动力系统中的非常重要的概念。本项目主要关注幂零系统的结构，回复性和复杂度以及和相关领域的联系。我们希望对幂零空间结构的研究，来判定包络半群为d阶幂零群的系统是否是d阶系统。同时我们希望寻找幂零系统的一个“好的”符号扩充，并计算对应的符号复杂度及其他类型的复杂度。此外，我们还将考虑Bohr问题是否对无理旋转的斜积成立。我们希望在研究中更好地理解动力系统的相关性质，以及与其它相关领域和其他学科的联系。

幂零系统是近年来拓扑动力系统与遍历理论中的一个热门研究对象，而动力系统的回复性和复杂度都是动力系统中的非常重要的概念。在此项目中我们对一系列相关问题进行了研究。..首先我们在关于等度连续系统（其为一阶幂零系统）的推广平均等度连续系统的基础上，引入了密度等度连续系统的概念，并研究了其相关的性质以及密度敏感点和测度熵串的关系。同时我们还研究了动力系统复杂度与嵌入问题之间的关系，给出了一个 Hilbert 方体型且底空间的平均维数有限的万有系统。..基于前人关于大脑神经网络和概率论的相关研究，Petersen 和 Wilson 对于整数群作用引入了动力学复杂度和平均复杂度的概念。在实际应用中，由于各种网络的结构的复杂性，可能需要考虑更一般的作用。我们给出了 amenable 群作用下相关概念的推广，并研究了其相关的性质。我们希望我们的结果可以继续深入下去，使其能反过来应用于神经网络研究中。