零熵系统的复杂性及相关问题的研究

In the study of dynamical systems, people are interested in how complex a dynamical system is. From the point of view of entropy, there are two kinds of systems: positive entropy systems and zero entropy systems. Comparing to zero entropy systems, people know better about positive entropy systems. There are some important problems which have been solved for positive entropy systems, but have few progress for zero entropy systems. This project will concern the complexity of zero-entropy systems and some related problems, more precisely, .(1) In the aspect of maximal pattern entropy, we will study the dynamical realization of maximal pattern entropy, i.e. for a given space, we will study all the possible values of the maximal pattern entropy of dynamical systems defined on the space. We will also study the minimal dynamical realization of maximal pattern entropy. Moreover, we will study the dynamical realization of entropy..(2) In the aspect of some new invariant of zero entropy systems, we will introduce and study some new invariant from the point of view of independence set, we will study the complexity function of dynamical system, the family sensitivity and some other properties, and also their relations..(3) In the aspect of the complexity of zero entropy system of countable group actions, we will introduce some invariant of zero entropy systems, we will study the complexity function of dynamical system, the stronger forms of sensitivity etc...These studies will enable us to have a better understanding of zero entropy systems.

复杂性是动力系统研究中人们关心的问题。从熵的角度，动力系统可以分为正熵系统和零熵系统。相比正熵系统，人们对零熵系统的理解不够深入。一些重要问题在正熵系统已经得到解决，但在零熵系统还没有进展。本项目将对零熵系统的复杂性及一些相关问题展开研究，具体来说：.1. 在最大型熵的动力系统实现方面：在给定的拓扑空间上，研究定义在其上的拓扑动力系统的最大型熵的可能取值。研究最大型熵的极小动力系统实现，并研究熵的动力系统实现。.2. 在零熵系统的复杂性的一些新的不变量的研究方面：从独立性集的角度引入并研究一些新的刻画零熵系统复杂性的量，研究动力系统的复杂度及族敏感性等性质，并研究这些不同的量之间的关系。.3. 在可数群作用下零熵系统复杂性的研究方面：在可数群作用下引入一些刻画零熵系统复杂性的量，研究复杂度、各种更强形式的敏感性。.通过这些研究，将加深人们对零熵系统的理解。

在项目执行期间，2020年项目组研究成果“Topology and Topological sequence entropy”入选了“第五届中国科协优秀科技论文遴选计划”优秀论文。2022年项目组成员李健教授获得国家自然科学基金优秀青年基金资助。项目执行期间毕业博士研究生1名，硕士研究生8名。共计发表论文15篇，另有多篇论文已完成并投稿。..复杂性是动力系统研究中人们关心的问题。从熵的角度，动力系统可以分为正熵系统和零熵系统。本项目对零熵系统的复杂性及一些相关问题展开研究。在最大型熵的动力系统实现、零熵系统的复杂性的一些新的不变量的研究、可数群作用下零熵系统复杂性等问题上取得了一系列重要结果。..设X为一个紧致度量空间，S(X)为X上可以通过连续映射实现的最大型熵的取值组成的集合。我们的研究说明了对于{\infty,0,log2,log3,...}的任意包含{0}的子集A，均可以构造一个一维连续统X，使得S(X)=A，从而彻底的解决了最大型熵的动力系统实现问题。进一步的我们还研究了同胚映射的情形，说明类似的结果也成立。我们说明了对于一些特殊的群作用，也有类似的结果。..我们分别在保测系统和拓扑动力系统中引入了几种时间限制敏感性的概念，并讨论了它们与拓扑熵和测度熵之间的关系。我们研究具有零拓扑熵的图映射，证明了对于具有零拓扑熵的图映射，一个偶对是非分离的当且仅当它是IN-偶对当且仅当它是IT-偶对。我们还研究了各种更强形式的敏感性，包括n-元敏感性、厚式n-元敏感性、分块厚式n-元敏感性、测度n-元敏感性、IP n-串敏感性等概念，加深了对零熵系统的了解。..我们分别在整数群作用和可数离散顺从群作用下，研究了具有有限复杂度的系统。对于整数群作用，我们证明了一个拓扑动力系统相对于Bowen度量（最大平均度量）具有有界复杂度当且仅当它是等度连续的（平均意义下等度连续的）。对于一个不变测度，相对于Bowen度量（最大平均度量或者平均度量）具有有限测度复杂度等价于它是离散谱的。对于可数离散顺从群作用，我们证明了类似的结果也成立。