零熵系统的复杂性及相关动力学性质的研究

熵是动力系统研究中的重要内容，熵越大则系统越复杂，但是零熵系统仍然会有很强的复杂性。而从复杂性的角度对零熵系统进行研究，目前尚不多见。本项目主要研究的是零熵动力系统的复杂性及其相关课题。具体内容包括：一. 在拓扑动力系统的框架下，寻找零熵系统中与复杂性相关的拓扑共轭不变量并发展相应的局部化理论；二. 研究上述理论在遍历理论框架下的对应，既包括相应的平行性理论，也包括两套理论之间的联系与区别，比如此时的变分原理是否成立，原因何在等；三. 研究零熵系统中复杂性与其它动力学性质之间的关联，比如多大程度的复杂性会产生混沌等；四. 上述问题在一般群作用下的情况。近年来局部化、序列化、独立性等思想在动力系统研究中起着越来越大的作用，本项目希望能通过这些思想对零熵动力系统的精细结构和复杂性产生机制进行深入研究，并丰富该领域的研究成果。

本项目研究的是零熵动力系统的复杂性及其相关课题。. 通过独立性与序列化的思想，我们引入了拓扑熵维数和测度熵维数的定义并发展了相应的局部化理论，证明了相应的不交性定理，给出了Kolmogorov系统在零熵框架下的对应。我们还深入研究了拓扑熵维数和测度熵维数之间的联系，证明了熵维数不满足通常意义下的变分原理，但是对Bowen型熵维数和测度局部熵维数，存在一个弱的变分原理，即Bowen型熵维数等于所有概率测度的局部熵维数的上确界。我们还研究了非紧集合和非自治动力系统的熵维数。此外，对圆周无理旋转上的special flow，我们证明了此类系统拓扑动力学结构的一个二分法：要么是拓扑弱混合的，要么是等度连续的；要么是Li-Yorke混沌的，要么是无scramble对的。. 综合以上研究结果，本项目累计已发表SCI论文4篇，已接受SCI论文1篇，另有4篇正在进一步完成中。