广义哈密顿系统及其相关系统的若干问题研究

本项目拟从理论上研究自治广义哈密顿系统的同宿或异宿流形、中心流形等不变流形及其结构特性，对非自治广义哈密顿系统研究其Lagrange相干结构，获得相应的计算方法；结合以往对Lotka-Volterra系统的研究，运用广义哈密顿系统理论研究n维耗散型LV系统的分类、分叉及混沌性质，并探讨相关理论结果在复杂网络同步方面的应用；针对广义哈密顿系统的推广系统- - Leibniz系统，研究其相空间Leibniz流形的性质及其上Leibniz系统的动力学性质，探索相应的分叉与混沌理论，并将获得的理论成果运用于一些重要的耗散力学系统、非完整约束系统的动力学研究。

（1）将一个高维动力系统表示为广义Hamilton系统形式的问题就归结为寻求相应的结构矩阵J(x)和Hamilton函数H(x)的问题是重要而困难的问题。本项目研究了满足Jacobi恒等式的三阶以上结构矩阵解的构造问题，提出了一些构造三阶结构矩阵的方法；对几类四阶及n阶结构矩阵的构造方法获得了一些新结果。（2）根据前人关于三、四阶Lie-Poisson结构的分类， 获得了三阶和部分四阶Lie-Poisson结构的保结构线性变换的一般形式；对部分典型分类，利用保结构变换及广义Hamilton系统性质获得了二次Hamilton函数的规范型，分析了相应广义Hamilton系统的相空间轨道结构性质和精确周期解和同宿异宿解。（3）对具有Lie-Poisson结构的广义Hamilton系统，获得了如何构造保结构非线性变换计算任意阶Hamilton函数规范型的一般递推公式，针对具有两类三阶Lie-Poisson结构的三维广义Hamilton系统，具体计算了相应哈密顿函数的二阶和三阶规范型，讨论了相应的截断系统的相空间轨道结构的分叉性质及全局相图分类。（4）.给出了27类五阶最大稳定耗散图对应的五阶矩阵是稳定耗散矩阵的充要条件。据此借助于稳定耗散Lotka-Volterra系统的吸引子的结构分析及广义Hamilton系统理论，进一步详细讨论了相应的每一个五维稳定耗散Lotka-Volterra系统的稳定性、周期解存在性及混沌等动力学性质。（5）通过对低阶最大稳定耗散图的构造过程的分析, 利用图论知识，归纳总结出一套一般的作图算法, 按此构造步骤可得到了一般的n阶最大稳定耗散图；对一类6阶稳定耗散矩阵对应的六维Lotka-Volterra系统的动力学性质的分析和数值模拟，获得了系统吸引子为平衡点和周期轨道的充要条件。（6）研究了原点是中心且具有不变代数曲线1-x^m=0的平面多项式系统的一种扰动系统，运用分析Abel积分的零点的方法获得了系统的极限环个数关于m的估计式。运用一阶、二阶平均理论分别获得几类平面多项式系统的极限环近似表达式。（7）对平面二次等时中心的分片光滑二次多项式扰动系统和具有二次不变曲线（1-x）^2=0的三次系统的分片光滑多项式扰动系统，分别获得了这两类分片光滑扰动系统的极限环个数的估计公式。（8）利用Milnikov方法研究了几类三维系统的周期解和混沌存在性。