非线性泛函分析框架下的几类典型的椭圆问题

Under the sketch of nonlinear functional analysis, this program mainly intends to study the existence of solutions and some properties of these solutions to some nonlinear elliptic equations, which include a nonlinear Schrodinger equation with electromagnetic fields, a nonlinear Schrodinger-Poisson system and some fractional Laplacian equations. We are mainly concerned with their high energy solutions and multi-bump solutions. The main methods are critical point theory、the finite reduction method and a blow-up method combining some local Pohozeave identities.These problems have comprehensive physical backgrounds，which have been focused on for a long time. We wish to develop new methods and new tools in nonlinear functional analysis by investigating them.

本项目主要在非线性泛函分析的框架下，研究几类大家非常感兴趣的非线性椭圆型方程的解的存在性及其解的性态，主要包括：带电磁位势的非线性薛定谔方程、薛定谔-泊松方程组和分数阶拉普拉斯方程。我们主要关心的是这些方程的高能量解和多胞解，主要方法是拟应用临界点理论、有限约化方法、爆破方法结合局部的Pohozeave恒等式。这些问题具有广泛的物理背景，一直是人们关注的热点。我们希望通过研究这些问题发展出非线性泛函分析中的新的方法和工具。

本项目主要研究了几类常见的偏微分方程峰解的存在性及解的性态，例如：解的渐近行为、解的唯一性及解的非退化性等。我们的主要工具是：变分法、有限维约化方法、局部的Pohozaev恒等式和爆破技巧。这些问题都有实际应用背景，研究它们是有意义的。我们的主要工作如下：一、在有限维约化方法中引进局部的Pohozaev恒等式研究了几类临界椭圆方程集中在某些位势函数鞍点的无穷多峰正解的存在性；二、应用有限维约化方法研究了几类非局部椭圆问题峰解的存在性，并利用局部的Pohozaev恒等式结合爆破技巧、极值原理证明了峰解的唯一性；三、利用变分法结合罚函数法研究了几类椭圆方程解的存在性及解的性态；四、利用无穷维约化方法结合内外粘程序研究了全空间上各向异性的临界热方程在无穷时间爆破解的存在性。通过本项目的研究，不仅解决了我们提出的问题，也发展了一些非线性泛函分析中新的方法与工具。