由G-布朗运动驱动的几类随机微分方程研究

As the main mathematical tool to describe the model uncertainty, nonlinear G-expectation and G-stochastic calculus based on G-expectation have concrete applications in the superhedging in finance, risk measures, and probabilistic interpretation for the viscosity solutions of fully nonlinear partial differential equations. This project mainly discusses some classes of stochastic differential equations driven by G-Brownian motion. Firstly, we will derive the sufficient conditions for the stabilization for stochastic differential equations driven by G-Brownian motion (G-SDE, in short) by means of different control tackles, establish the criterion of the stability and stabilization for G-SDE. Secondly, we will devoted ourself to the dynamical behaviors for example exponential stability, input-to-state stability, synchronization and boundedness for stochastic coupled systems driven by G-Brownian motion. Thirdly, we will estabilish the criterion for the exact and approximate controllability for G-SDE by means of martingale representation theorem and Grammian function. Lastly, we will prove the existence and uniqueness of the solution for backward stochastic differential equations driven by G-Brownian motion (G-BSDE, in short) in convex domain and multivalued G-BSDE with oblique subgradients. Moreover, we aim to give the probabilistic interpretation for the viscosity solutions of a class of fully nonlinear partial differential equations with constraints (or variational inequalities).

作为描述模型不确定性的重要数学工具，非线性G-期望理论及建立在其上的G-随机分析理论在资产定价、风险度量以及全非线性PDE解的概率表示等方面都有其重要应用。本项目主要研究由G-布朗运动驱动的几类随机微分方程，主要包括：1、通过构造不同的控制策略给出G-SDE稳定化的充分条件，建立G-SDE稳定性和稳定化准则。2、得到由G-布朗运动驱动的随机耦合网络上系统节点间动力学行为，主要包括：矩稳定性、指数稳定性、状态输入稳定性、同步以及有界性等。建立由G-布朗运动驱动的随机耦合系统的稳定化的充分性条件，建立节点系统的稳定性准则。3、利用鞅表示定理和构造合适的控制Grammian函数建立G-SDE精确可控性和逼近可控性准则。 4、给出凸域上以及含有倾斜算子的多值G-BSDE解的存在唯一性，并得到几类全非线性偏微分方程（变分不等式）解的概率表示。

非线性G-期望理论及建立在其上的G-随机分析理论在资产定价、风险度量以及全非线性PDE解的概率表示等方面都有其重要应用。基于G-随机分析理论基础上的由G-布朗运动驱动的随机微分方程（G-SDE）在有深刻的背景和应用前景。本项目主要围绕几类G-SDE的稳定性、稳定化（镇定）以及多值由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（G-BSDE）研究。研究内容主要包括：1、通过构造不同的控制策略给出G-SDE稳定化的充分条件，建立G-SDE稳定性和稳定化准则。2、得到由G-布朗运动驱动的随机耦合网络上系统节点间动力学行为。建立由G-布朗运动驱动的随机耦合系统的稳定化的充分性条件，建立节点系统的稳定性准则。3、给出凸域上以及含有倾斜算子的多值G-BSDE解的存在唯一性，并得到几类全非线性偏微分方程（变分不等式）解的概率表示。 重要研究成果主要包括：1、通过选取不同的控制策略研究G-SDE的稳定化。基于G-Lyapunov 函数，G-随机分析技术等工具建立G-SDE的各类稳定性和稳定化准则，通过建立的稳定化准则，讨论了由G-布朗运动驱动的随机神经网络模型、随机生物模型的稳定化以及相关的同步问题。2、基于图论、G-Lyapunov函数以及随机分析技术等工具, 研究由G-布朗运动驱动的随机耦合网络上系统节点间动力学行为，主要包括：矩稳定性、指数稳定性、状态输入稳定性、同步以及有界性等。进而，对于一个不稳定的由G-布朗运动驱动的随机耦合系统，通过增加合适的控制输入来保证系统的稳定性，建立节点系统的稳定性准则。3、提出了由G-布朗运动驱动的随机Lotka-Volterra模型，证明了在受到非确定性干扰下系统在有限时间内保持生存而非爆炸性的结论；给出了由G-布朗运动驱动的随机epidemic模型的正解在拟必然意义下的存在性及其渐近稳定性；得到了一类由G-布朗运动驱动的随机反应扩散模型并给出了其解的稳定性结论。科学意义：课题对近年来发展起来的G-布朗运动驱动的随机微分方程相关控制问题和稳定性进行了系统研究，得到的成果推动了G-SDE理论，拓展了其在随机生物模型、多种群随机耦合系统以及G-SDE稳定化等领域的应用。