G-布朗运动驱动的随机系统最优控制问题研究

This project aims to study optimal control problems of stochastic systems driven by G-Brownian motion on the basis of stochastic differential equations and stochastic optimal control theory. The project will mainly research the issues as follows: to concern with Pontryagin’s maximum principle for stochastic recursive optimal control problems under non-convex control domains, establish the optimal variational inequality under G-framework and overcome the difficulity arising from nondeterministic quadratic variation of G-Brownian motion; To obtain dynamic programming principle for stochastic differential games, and then get the continuous viscosity solution properties for both the upper and the lower value functions, further to make up the shortcomings; To investigate well-posedness of fully coupled forward and backward stochastic differential equations under sublinear expectation framework, via convex perturbation technique as well as G-Itô’s formula to present local maximum principle for fully coupled stochastic systems. The expected results of this project will help to understand the influence of sublinear expectation theory to optimal control of stochastic differential systems, further to implement rich content of optimal control theory.

本项目是基于随机微分方程和最优控制理论，定性研究G-布朗运动驱动的随机系统最优控制问题。主要是：研究非凸控制域情形下，随机递归效益最优控制问题的Pontryagin最大值原理，建立G-框架下的最优变分不等式，克服G-布朗运动二次变差过程非确定性所带来的困难；建立随机微分对策问题的动态规划原理，继而得到其上值函数和下值函数的连续粘性解性质，弥补这方面研究的不足；研究次线性期望框架下完全耦合正倒向随机微分方程的适定性，借助于凸扰动技术和G-Itô公式给出完全耦合随机系统的局部最大值原理。本项目的预期成果将有助于了解次线性期望理论对随机微分系统最优控制的影响，丰富最优控制理论的研究内容。

在项目执行过程中，研究内容以随机控制系统和趋化系统为主。对于随机控制系统，本项目首先考虑了带有混合初始终端约束条件的平均场正倒向随机微分方程的近似最优控制问题，在凸控制区域限制条件下，通过Ekeland变分原理及递归方法，建立了具有Pontryagin形式的近似最优充分必要性条件；其次借助于延拓的Ekeland变分原理在降低罚泛函下半连续性要求基础上，结合递归方法给出了非凸控制域下一般形式的平均场正倒向随机微分方程的最大值原理；对于趋化系统，本项目主要研究了具有饱和趋化作用的病毒感染模型的全局存在性，通过引入逼近解的极限序列，借助于G—N插值不等式及估计技术，证明了描述病毒感染模型的原始系统的全局弱解的存在性；其次建立了具有食饵趋化的三种群猎食模型的任意维度的全局广义解。