非线性Keller-Segel方程的定性研究

The Keller-Segel equation for chemotaxis describes the collective motion of cells (usually bacteria or amoebae) that are attracted by a chemical substance and are able to emit it. The equation contains diffusion and aggregation, whose interaction makes the solution behave very complicatedly. As is well known, nonlinear heat equation has a class of Fujita exponents. However Keller-Segel equation has two types of exponents, one about diffusion and the other about initial amount. Up to now, researchers have studied extensively the two types of exponents only in the Keller-Segel equation of porous medium type. In our project, we shall study the interaction of some important diffusion (high-order diffusion, fractional diffusion, fractional porous medium diffusion and p-Laplace diffusion, etc.) and aggregation, and investigate the global existence, long time behavior, finite time blow-up and blow-up profile, etc. Our project has clear biological background and is mathematically meaningful.

Keller-Segel方程描述细胞（如细菌、变形虫）受自身分泌物质吸引的运动规律。该方程含有扩散和聚集两个因素，在它们的相互作用下，解的性态很复杂。与非线性热方程具有Fujita指数不同的是，Keller-Segel方程具有两类临界指数，一类是关于扩散的，另一类是关于初始总量的。目前对Keller-Segel方程临界指数的研究多集中在多孔介质扩散上，因此研究含有其它重要扩散项的Keller-Segel方程的临界指数是未来主要研究方向。本项目拟研究含有其他几类扩散项（高阶Laplace扩散、分数阶扩散、分数阶多孔介质扩散、p-Laplace扩散等）的Keller-Segel方程的临界指数以及与之相关的整体存在性、整体解的渐近行为、有限时刻爆破、爆破性态等。开展本项目研究具有明确的生物学背景和重要的数学理论意义。

Keller-Segel方程描述细胞（如细菌、变形虫）受自身分泌物质吸引的运动规律，最初由Patlak、Keller和Segel提出，所以也被称为Patlak-Keller-Segel方程。九十年代中期以后，它作为一类重要的非线性偏微分方程受到了极大关注和深入细致的研究。项目执行期内，主要研究内容和重要结果如下：1) 研究了具有非线性敏感度函数和非线性信号产生函数的Keller-Segel方程组的齐次Neumann边值问题的径向对称解，获得了临界爆破指数；研究了具有多孔介质扩散和对数敏感度函数的耗氧型趋化方程组，获得了扩散指数的临界指数，证明了扩散指数大于临界指数时，方程组存在整体广义解；2) 研究了敏感度函数梯度依赖的耗氧型趋化方程组，证明了低维问题存在整体弱解，高维问题存在整体重整化解；研究了敏感度函数梯度依赖的信号产生趋化方程组，证明了梯度的指数小于某个数值时，方程组存在整体有界的弱解； 3) 研究了耗氧型趋化方程组，证明了高维问题重整化解的存在性；4) 研究了带p-Laplace扩散的不可压趋化-Navier-Stokes方程组，证明了当p>32/15时，完全的趋化流体方程组存在整体弱解，当p>23/11时，趋化-Stokes方程组存在整体有界的弱解；5) 研究了几类带旋转效应的趋化方程组，获得了旋转矩阵满足一定条件下的耗氧型趋化方程、趋化流体方程、捕食模型等弱解的存在性和有界性；6) 研究了趋化相关的相互作用泛函，证明了极小函数的存在性，并在某些参数范围内求出了全局极小函数。四年来，总计发表了17篇文章，还有几篇在审稿中，且都标注了基金号，基本完成了项目设定的目标。该项目是基础理论研究，项目的执行使我们获得了对扩散-聚集机制更为深入的理解，本项目的研究具有明确的生物学背景和重要的数学理论意义。