带非线性梯度项的抛物型方程的定性研究

本项目研究的带非线性梯度项的抛物型方程来源于界面动力学，用来刻画界面的发展变化规律，其中的非线性梯度项代表外界的确定性因素对界面增长或消减的影响。描述界面演化过程的抛物型方程一般还带有随机项，称之为界面方程。界面在自然界中广泛存在，如火势蔓延的锋线，风蚀的山体表面，肿瘤的包膜等。研究界面的演化规律是非平衡统计力学的一个重要分支。同带非线性零阶项的抛物型方程相比，带非线性梯度项的方程解的定性性质，是一个有待深入研究的新领域，存在着很多新问题，也有一些新现象，如解的梯度在区域的边界上会发生有限时刻爆破。本项目的主要研究内容是：确定性界面方程（不含随机项）的相似解的存在性，整体解的长时间性态，初始迹，梯度边界爆破分析；含确定性扰动项的界面方程的尺度变换性质；奇性界面方程的适定性和渐近性态；一类随机界面方程的适定性和渐近性态，等。

本项目研究非线性抛物型方程解的局部存在性、整体存在性、有限时刻爆破、长时间渐近性态、爆破性态等。项目组成员研究了有界区域上三维非线性扩散主导的趋化流体方程组弱解的存在性，给出了保证弱解存在的非线性扩散强度；给出了有界区域上二维趋化流体方程组解趋于稳态解的指数速率；获得了非线性扩散主导的趋化-趋触方程组解的有界性；研究了拟线性完全抛物型趋化方程组解的有界性；获得了耗氧型趋化方程组解趋于稳态解的渐近速率；研究了带logistics项的趋化-排斥方程组的整体有界性；研究了一些多物种趋化方程组的爆破性质、渐近性质等；获得了Boussinesq方程组整体解的稳定性。共发表文章15篇，其中SCI文章14篇，EI1文章篇，发表的杂志包括J. Differential Equations、Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B、Nonlinearity、Z. Angew. Math. Phys.、J. Math. Phys.、Z. Angew. Math. Mech.、Nonlinear Analysis、J. Math. Anal. Appl.等。研究结果有助于深刻理解非线性抛物型方程解的定性性质。四年来两名博士生毕业，两名硕士生毕业，两名硕士生硕博连读，目前一名博士后在站，四名博士生和一名硕士生在读。