关于几类 Keller-Segel 型趋化方程组的若干定性研究

Chemotaxis is the oriented movement of cells (bacteria, organisms etc) in response to gradients of exterior stimulants; this will result in aggregation of cells. In the beginning of 1970s, Keller and Segel introduced a classical and important mathematical system modeling chemotaxis. Various forms of KS model and its applications have been extensively studied, while, the understanding of chemotaxis mechanism is still far from complete. This project is thus devoted to systematic qualitative studies on several classes of PDE systems from mathematical biology modeling aggregation phenomenon, for instance, boundeness vs. blow-up, asymptotics, convergence and stability etc. In particular, we will incorporate a generic growth source and a nonlinear saturation term to make Tello-Winkler’s model more reasonable and, moreover use elementary methods to improve their boundedness result to the borderline case; for chemotaxis model with logistic source, we shall especially use our derived criteria to establish a precise lower dampening bound µ_0 such that the underlying system has no blow-ups if µ>µ_0 , also the otherwise case will be studied; besides, we will propose a new class of predator-prey-chemotaxis models (chemotaxis-fuild models, if possible) and extend the aforementioned ideas to investigate their global dynamics, especially, when predators and preys could coexist?

趋化性是指细胞 (细菌，有机物等) 对外界刺激物质浓度梯度产生趋向的行为， 它会导致细胞聚集现象。70年代初，Keller-Segel 提出一个经典而重要的趋化模型。它的许多形式及其应用都得到广泛的研究，但是我们对趋化机制的理解仍然还没有完备，本项目将对生物数学中模拟聚集现象的几类偏微分方程组的动力学行为进行系统的定性研究，如有界性与爆破性，渐进性，收敛性，稳定性等。 特别地，我们将引进一般的增长项和非线性饱和项将Tello-Winkler模型完善化并用初等方法将他们的有界性结果推广至临界情形；在带有logistic 增长项的趋化模型中，我们特别会利用已获得的准则去建立一个精确的阻尼下界µ_0使得爆破被阻止只要µ>µ_0，并将研究相反情形的动力学行为；此外，我们将建立一类新的捕食-食饵-趋化模型（趋化流体模型，可能的话）并延拓上述思想研究其全局动力学行为，特别是，捕食者和食饵是否可共存？

趋化性(chemotaxis) 最初指细胞以及有机物对可扩散的化学刺激物浓度梯度产生趋向或避离响应的定向行为，自从70年代初，Keller-Segel提出经典的趋化模型以来，它成为应用数学的日益活跃的研究对象。本项目定性定量地研究了几类来自于生物数学中带有交错扩散的趋化模型，如经典的KS趋化模型，捕食食饵-食饵趋化模型，SIS-趋化模型，趋化-趋触模型，趋化-流体模型以及多种群多信号趋化模型， 得到了一系列丰富有趣的新颖结果；研究重点围绕以下一些问题展开: 1) 所提出的模型的解是全局存在还是会在有限时间爆破？1.1)如果全局有界，怎么研究解的渐进行为？1.2)它们会收敛到常数平衡解还是具有特殊性质的版图以及它们准确的收敛速率？ 1.3）怎么确定爆破是否发生以及是否同时爆破（多种群情形）；2）交错扩散项怎样定性定量地影响解的性质? 3）阻尼项是如何定性地影响解的有界性的？它是否可以阻止爆破的发生？3.1）如果可以，到底应该需要多“强”？3.2）如果不可以，我们是否可以对爆破机制有进一步的了解？ 项目的研究对上述问题得到很好的解答，特别是我们首次得到了精确的logistic阻尼阻止细胞发生爆破以及首次得到了sub-logistic 已足以保证2维的极小KS趋化模型发生爆破以及定性地刻画了logisitic源项对KS趋化模型的解的有界性影响， 部分成果已发表在SIAM,JNS, Nonlinearity，JMP等杂志上，共13篇SCI科学研究论文。 这些研究结果使我们对交错扩散以及源项项对趋化机制的影响提供更多定性的理解， 也在一定程度上推动了偏微分方程特别是抛物方程的理论的发展。