复域差分的性质及其在差分方程中的应用

Complex difference and difference equations have gained increasing interest in recent years, due to the introduction of Nevanlinna value distribution theory. Difference equations have many important applications in physics, economics, engineering and so on. In this project, we first investigate the properties of complex difference, then with the help of these properties we investigate some difference equations, especially Riccati difference equation. Moreover, we investigate the relationship between linear and non-linear difference equations. In our earlier work, we have obtained some difference analogues of several theorems in Nevanlinna theory， and investigated the properties of meromorphic solutions of some difference equations. In this project, we will continue to deepen and expand the investigation of complex difference and difference equations, and get some creative methods and results.

近年来, 随着Nevanlinna值分布理论的引入, 复域差分及差分方程亚纯解的研究越来越受到人们的关注. 差分方程在物理, 经济， 工程等许多学科都有着重要的应用. 本项目研究复域差分的一些性质，借助这些性质研究某些复域差分方程，特别是Riccati差分方程，并研究线性和非线性差分方程之间的变换关系。在前期的工作中, 我们已经得到了Nevanlinna理论中一些定理的差分模拟, 并研究了几类差分方程亚纯解的性质. 本项目将继续深化拓展复域差分，差分方程的研究, 获得一些创造性的研究方法和研究结果.

我们对本项目的研究基本上按原计划进行, 对研究计划中的各项目标都进行了研究, 得到了一些新结果, 并在SCI源刊物上发表论文7篇。 我们主要对复域差分的值分布性质，Riccati差分方程以及线性差分方程的亚纯解的解析性质进行了研究, 具体情况如下。对亚纯函数及其差分的有理函数, 我们得到了其特征函数的上界和下界，并且举例说明了所得结果的精确性，部分地建立了Valiron-Mohon'ko定理的差分模拟, 为研究差分方程提供了又一个工具。 对复域差分的唯一性, 我们利用差分方程研究了超越整函数与其高阶差分分担一个小函数的情况, 得到了超越整函数的具体形式, 体现了利用差分方程解决问题的益处。 对差分Riccati方程, 我们研究了其亚纯解的零点，极点与增长级的关系，以及亚纯解的差分和均差分的零点，极点与增长级的关系，并且我们还研究了亚纯解的位移, 差分以及均差分的不动点。对q-差分Riccati方程, 我们研究了其超越亚纯解的超超越性与值分布, 以及有理解的存在性和形式。对线性差分方程, 我们讨论了其亚纯解的值分布, 并讨论了亚纯解的差分的性质, 推广了Chiang等人的结果。