动力系统中的拓扑压与维数理论

混沌和分形是二十世纪人们在自然科学中发现的普遍而深刻的自然现象，已成为动力系统复杂性态研究中的两个重要内容，对它们的研究已在诸多领域获得重要应用。动力系统中的维数理论是在人们发现奇异吸引子之后，产生的动力系统的又一重要研究方向。本项目是将动力系统的混沌、维数和非紧拓扑压结合起来，研究动力系统中的的非紧热力学形式和维数理论，特别是动力系统中非紧拓扑压的变分原理及其在重分形分析中的应用。我们的研究将有助于人们对混沌动力系统的几何结构的复杂性和动力性态的复杂性的认识。

项目期间，项目成员发表论文11 篇，已接受论文4篇，完成论文8篇。.1）在动力系统经典紧熵（压）变分原理的研究方面，我们定义了Tail压和拓扑条件压并证明了变分原理。研究了群作用下的动力系统，对amenable群作用的动力系统，分别定义了拓扑条件熵和次可加势的相对局部拓扑压并给出了它们的变分原理。对 Sofic 群作用的动力系统, 定义了局部拓扑压并建立了其变分原理。在2012年定义了Sofic广群作用的动力系统的拓扑压并建立了其变分原理。.2）在动力系统中非紧拓扑压变分原理的研究及其应用方面，我们计算了 Z^n作用下几乎乘积条件的 Birkhoff 平均的historic集的非紧拓扑压。并给出了几乎乘积条件下的 Olsen 测度的 Birkhoff 平均的historic集的重分形分析，进一步，用非紧拓扑压刻画扩张映射的强混沌集合，在一般拓扑动力系统中证明了满压混沌集合的存在性，证明了动力系统在重分形结构中的水平集和historic集上是混沌的。对符号动力系统研究分布混沌点对集合和分布混沌集合的Hausdorff 维数和测度。得到它们的Hausdorff 维数只与q有关的有趣结论。.3）在零熵系统定义了 Bowen 非紧拓扑慢熵和测度慢熵，证明了它们在任意子集上的变分原理。建立了拓扑慢熵和测度慢熵的关系。定义了 BS—Packing 维数和 Packing 拓扑压，证明了它们在任意子集上的变分原理，并得到了相应的 Bowen 方程。对于拓扑共形映射，给出了任意子集的Packing 维数的Bowen方程。解决了Olsen关于自相似迭代函数系统发散点的一个猜测。对于具有重叠结构迭代函数系统, 定义了投影拓扑压, 得到了相应的 Bowen 方程。对随机动力系统, 我们定义了局部熵的概念并证明了变分原理。.项目期间培养博士研究生1名、硕士研究生9名。在读硕士研究生9名。在读博士研究生3名，博士后1名。