拓扑动力系统中的重分形分析

Dimension theory in dynamical systems is another important research direction after the appearance of fractal geometry. In the current global research on dimension theory, people show their great interests in the issues of multifractal analysis and dimension of invariant sets under non-conformal expanding maps. Multifractal analysis in dynamical systems studies the local variables, especially the complexity of level sets via Birkhoff average, and is described in general through conditional variation principle or Legendre transformation of topological pressures. In recent years, multifractal analysis on topological systems with background related to non-uniformly hyperbolic systems has been one of the topical aspects in dimension theory. To this end, in this project we will focus on the multifractal analysis for topological dynamical systems with non-uniform specification properties. Using techniques of thermodynamic formalism and symbolic dynamical system with countable many symbols, we will study the complexity of level sets of Birkhoff average arising from continuous maps with weak shadowing property、non-uniform specification subshifts in self-affine symbolic spaces、set-valued maps and dynamical systems under amenable group actions and establish the conditional variation principle for multifractal spectrum and the Legendre transformation of topological pressures. We will also pay our attentions to the applications to non-uniformly hyperbolic systems and non-conformal expanding maps.

动力系统中的维数理论是分形几何出现后，产生的动力系统又一重要研究方向。重分形分析和非共形扩张映射不变集合的维数问题是当前国际维数理论研究中的引人关注的问题。拓扑动力系统的重分形分析是研究局部量，特别是Birkhoff平均的水平集的复杂性，一般是通过条件变分原理或拓扑压函数的Legendre变换来描述。近几年来，具有非一致双曲系统背景的拓扑动力系统的重分形分析已经成为维数理论的一个热点。为此，本项目将对具有非一致specification性质的拓扑动力系统开展重分形分析研究。主要运用热力学公式和可数符号动力系统，研究具有弱跟踪性质的连续映射、自仿射符号空间非一致specification的子位移、集值映射和amenable群作用动力系统的Birkhoff平均的水平集的复杂性，建立重分形谱的条件变分原理和拓扑压函数的Legendre变换，并注重其在非一致双曲系统和非共形扩张映射的应用。

本项目我们对动力系统的重分形分析，熵与混沌理论，平均维数以及热力学理论等进行了研究。.a)在重分形分析方面：我们分别研究了具有伪轨跟踪性质或非一致结构的动力系统的饱和集的拓扑熵；具有弱分离条件下迭代函数系统的发散点集的分形结构；在拓扑动力系统中定义了度量diophantine逼近好的集合，研究其大小。.b)混沌理论和复杂性方面：对于紧系统驱动的随机动力系统,证明了正熵蕴含平均Li-Yorke 混沌。此外，我们还研究了可数群作用系统上的跟踪性和混合性。.c)熵理论：在amenable群作用动力系统，加权动力系统以及重新参数化流系统证明了遍历测度的通有点集的拓扑熵与其测度熵一致。建立了平均度量下的条件熵的Katok熵公式以及非稳定测度熵的Katok公式。.d)平均维数方面：对集值动力系统和随机动力系统定义了平均维数。建立了次可加势函数，Zk作用以及amenable群作用的平均维数的变分原理。证明了有限生成amenable 群作用的平均维数的熵公式。.e）热力学理论方面：研究了由BS维数定义的诱导拓扑压以及随机系统的相对tail熵。对于遗传子转移上的一类测度，我们给出了一个非Gibbs测度的判定条件。..在项目执行期间，本项目共发表论文18篇。项目期间博士毕业4人，硕士8人。