机构建模及求解的倍矢量与倍矩阵的方法研究

There are numerous mathematical modeling methods for the mechanism kinematics, such as dual number, dual vector, dual matrix and dual quaternion. From the mathematical perspective, there exist double number, double vector, double matrix and double quaternion correspondingly. The unified mathematical modeling of the mechanism kinematics has been implemented based on double quaternion due to the rotation and movement of the rigid body in the three-dimension space can be converted to the pure rotation in the four-dimension space by double quaternion. However, double vector and double matrix have never be studied. For the completeness of the mechanism mathematical modeling theory, this project will study both of double vector and double matrix methods of kinematical modeling and solution. Preliminary research indicated that both methods have the characteristics of linear coordinate transformation and unified modeling similar to double quaternion, and therefore, it is possible to a more concise modeling method and efficient method for the analysis and synthesis of the mechanism, and then to develop a new field for the study of mechanism modeling after further study through this project.

机构运动学建模的方法有很多种，如：对偶数、对偶矢量、对偶矩阵和对偶四元数。从数学角度看，与其相对应地，应包括倍数、倍矢量、倍矩阵和倍四元数。倍四元数由于将刚体三维空间的转动和移动统一为四维空间的纯转动，已成功实现机构的统一数学建模。但是倍矢量和倍矩阵均未被研究。为了机构建模理论的完备性，本项目将对机构建模及求解的倍矢量和倍矩阵方法进行研究。初步研究表明该方法对于坐标变换具有线性特点，而且具有倍四元数的统一建模特点，因此将其深入研究后引入机构学中，有可能获得机构学分析和综合问题的更简洁的建模方法和高效求解方法，进而开拓出机构学建模研究的新领域。

本课题对机器人机构运动学的几何建模方法和代数求解方法进行了综合研究，且主要基于几何代数，即Clifford代数，对其进行了深入探索和研究。针对几类并联机构的正运动学问题，本课题基于共形几何代数（CGA）首次提出一种脱离坐标系的几何建模和免消元计算方法。该方法主要有以下三个优点：（1）建模具有几何直观性，主要是通过基本几何体的相交、分离和对偶等运算完成；（2）一元高次方程的推导不需要传统的代数消元方法，可以直接得到显式符号的一元高次方程表达式；（3）该方法对于任何尺寸的机构位置正解问题都适用，算法具有鲁棒性，不需要前提假设条件。本课题提出的基于CGA的算法为并联机构的正运动学分析提供了一种新思路。主要研究内容如下：.（1）以等价于3-RS结构的并联机构（如3-RPS，3-PRS、3-RRS并联机构或6-3，5-3， 4-3 和 3-3 Stewart并联机构或2-RPS-2-SPS并联机构）、等价于3-RR结构的平面三自由度并联机构（如3-RPR、3PRR和3RRR等）以及等价于2-RS-2-SS结构的并联机构（如2-RPS&2-SPS并联机构和6-4 Stewart并联机构等）为研究对象，基于CGA对其正运动学分析问题分别进行了研究。基于CGA的几何建模和免消元求解步骤如下：首先，根据机构的几何特征，在CGA框架下，通过基本几何体的相交、分离和对偶运算，表示出动平台上的铰链位置；接着根据点的内积为0或三角形面积的有向性或四面体体积的有向性，并经过一系列的几何代数运算和化简推导出该问题的只含有一个或两个动平台铰链位置的特征多项式方程，该特征多项式方程的推导是与坐标系无关的纯几何语言运算，脱离了坐标系；最后引入一个变元表示动平台上的一个铰链点的位置坐标，并通过半角正切变换或者欧拉变换代入上述特征多项式方程，可直接获得并联机构正运动学分析的一元高次方程。为了验证算法的有效性和鲁棒性，本课题以这几类并联机构的一般构型和特殊构型为例，分别进行了验证。.（2）完成了球面3自由度机器人腕关节的原理样机方案设计、实物样机研制和运动控制算法实现研究。