流体动力学若干模型的定性研究

本项目拟研究几类流体动力学模型的定性性态，如可压Navier- Stokes(-Poisson) 方程和Euler(-Poisson) 方程、以及双原子混合Boltzmann方程和Vlasov-Poisson(Maxwell)-Boltzmann方程等。主要研究高维Navier-Stokes 方程自由界面问题的适定性和动力学特征；高维Navier-Stokes-Poisson 方程和Euler-Poisson 方程具紧支集稳态解的稳定性、Rayleigh-Taylor不稳定性；高维可压Navier-Stokes方程整体重整化解的正则性、唯一性；混合Boltzmann方程和混合Vlasov-Poisson(Maxwell)-Boltzmann方程解的整体适定性、流体动力学渐近极限、边界层问题等。这些受国际高度关注的前沿性课题的研究不仅有重要理论意义，而且与应用科学紧密相关，有广泛应用前景。

本项目执行以来的研究工作基本上按原计划执行，围绕“流体动力学若干模型的定性研究”，重点研究几类流体动力学模型的定性性态，取得了多项进展。.我们首先研究了三维空间Vlasov-Poisson-Boltzmann（VPB）方程和Vlasov-Maxwell-Boltzmann（VMB）方程柯西问题的适定性和渐近性态。我们建立了高维单极/双极 VPB方程线性化算子的谱理论、证明了整体强解的最优时间渐近速率,严格阐明了外加电场不但影响线单极性化VPB方程谱的分布结构，而且减缓整体解的L^2范数时间衰减速率。我们进一步研究了高维单极/双极VMB方程的谱理论和整体解的大时间渐近行为。我们的分析和结果表明外加电场或电磁场的作用以及载流子的相互作用使得带电粒子的输运过程极其复杂。其次，我们研究了几类宏观流体方程（可压缩不可压缩）流体方程解的存在性、正则性、大时间性态。对描述星体在重力作用下运动、具有gamma-率流体压力函数的三维等熵可压Navier-Stokes-Poisson（NSP）方程自由边界问题，在绝热指标位于6/5<gamma<=4/3时，对流体的总质量小于一个临界值、能量有限的初始值，我们率先证明了NSP方程组自由边界问题整体球对称解的存在性、正则性、以及大时间扩张行为。对shear粘性系数为正常数、bulk粘性系数依赖密度的二维可压缩等熵Navier-Stokes方程，对任意大且密度有界、不含真空的光滑初值，我们证明了该方程自由界面问题整体球对称解的存在唯一性和正则性、以及整体解的传输性质。我们进一步研究了几类典型的不可压流体方程解的适定性问题。对二维、三维等熵磁流体方程的柯西问题，对任意大震荡、小初始能量、且可以含真空的正则初值，证明了初始小能量下整体光滑解的存在性和唯一性、及长时间性质。对三维不可压micropolar流方程，在初始能量小、初始密度有正上界、且初始速度和初始微旋转速度梯度的L^2模有界的条件下，我们证明了该方程的初值问题整体弱解的存在性，等等。 在国际重要学术刊物（比如SIAM J. Math. Anal., Indiana Univ. Math. J., 等）上接受发表学术论文 13 篇，其中 SCI 论文 11 篇，完成学术研究论文 3 篇。