电流体动力学模型和液晶流体动力学模型大初值问题的整体适定性

In this project, we study two classes of nonlinear evolution equations or two mathematical models arising from electro-hydrodynamics and liquid crystal hydrodynamics. The first model describes the drift, diffusive and convective phenomena of ions in the electro-hydrohynamics. The second model describes the motion of the incompressible nematic liquid crystal flows. By using the Littlewood-Paley dyadic decomposition, the Fourier localization method，the Bony paraproduct decomposition and some advanced theories and tools recently developed in the fields of functional analysis and harmomic analysis, we are mainly concerned with global well-posedness of the Cauchy problem of these two fluid-dynamical models with large initial data in the critical anisotropic Besov spaces, the blow-up criterion and the regularizing decay rate estimates of strong solutions. These results will provide a solid theoretical foundation of mathematics for some related research projects in biology and physics, and have important theoretical significance for further understanding and promoting of the dynamical theory of the nonlinear partial differential equations in incompressible fluids.

本项目拟研究来源于电流体动力学和液晶流体动力学中的两类由非线性发展方程组描述的数学模型。第一类模型刻画了电流体动力学中带电离子的漂移，扩散和对流现象。第二类模型刻画了不可压向列型液晶流随时间的演化过程。我们拟通过Littlewood-Paley二进制分解、Fourier局部化方法和Bony仿积分解技巧等泛函分析和调和分析领域最新发展起来的一些数学理论和工具，研究这两类流体动力学模型在临界各向异性Besov空间中大初值问题的整体适定性，强解的爆破准则和正则化衰减估计。这些结果将为生物学和物理学相关课题的研究提供坚实的数学理论基础，并对进一步认识以及对推动不可压流体中非线性偏微分方程的发展具有重要意义。

本项目研究了来源于电流体动力学和液晶流体动力学中的两类由非线性发展方程组描述的数学模型。第一类模型刻画了电流体动力学中带电离子的漂移，扩散和对流现象。第二类模型刻画了不可压向列型液晶流随时间的演化过程。两类模型在数学上表现为椭圆（抛物）-抛物混合型拟线性偏微分方程组，具有强非线性、奇异性和强耦合性特点，研究起来有很大的难度，具有重要的理论研究意义和科学应用价值。我们主要考虑了这两类模型在低正则性函数空间中解的整体存在性、正则性、爆破和最优衰减估计问题，获得的主要结果如下：（1）改进了2015年项目负责人及其合作者发表在DCDS-A上关于三维NSPNP方程组在负数阶临界Besov空间中大初值问题的整体适定性结果中初始值所属的空间正则性指标和可积性指标所在的范围。（2）建立了NSPNP方程组和向列型液晶流方程组三维局部光滑解的BKM型爆破准则，并建立了改进的Prodi-Serrin型爆破准则。（3）建立了两类流体动力学方程组解在负数阶临界Besov空间中的最优衰减估计。特别地，这种建立解的最优衰减估计的方法具有普适性，可应用到许多非线性耗散型发展方程。目前该方法已被成功应用到流体力学中的广义Navier-Stokes方程组、临界和超临界Surface Quasi-Geostrophic方程以及生物学中的分数阶Keller-Segel方程和Chemotaxis-Navier-Stokes方程组。这些结果将为生物学和物理学相关课题的研究提供坚实的数学理论基础，并对进一步认识以及对推动不可压流体中非线性偏微分方程的发展具有重要意义。