双曲守恒律高精度熵稳定算法研究

Computational fluid dynamics can be used to simulate a large class of complicated flow phenomena appeared in the physical world. To design efficient and robust numerical methods for nonlinear hyperbolic conservation laws, which served as the basic governing equations for fluid flows, has always been a hot and difficult topic in computational fluid dynamics. Although many numerical methods have been well developed for solving nonlinear hyperbolic conservation laws during the past several decades, the research on stability results is still far from complete. Starting from the physical concept, this project will focus on designing high order entropy stable schemes for nonlinear hyperbolic conservation laws based on the problem’s physical background, namely the second law of thermodynamics. Such presented schemes are expected to solve various physical model problems. The success of this project will provide theoretical and technical support for running realistic simulations of engineering applications.

许多复杂的流动现象都可以通过计算流体力学的手段进行数值模拟。非线性双曲型守恒律方程作为流体运动的基本控制方程，对其数值方法的研究一直是计算流体力学中的热点和难点课题之一。目前在数值方法构造方面已有许多研究工作，但缺乏相应的稳定性研究。本项目从物理概念出发，充分考虑问题的物理特性：热力学第二定律，研究满足熵稳定条件的高精度数值方法，将其应用于各种典型的物理模型，为实际工程问题提供理论和技术支撑。

双曲守恒律及相关方程在实际工程中有着极其重要的应用。构造一种稳定的、高精度的数值求解方法是计算流体力学的核心内容之一。本项目针对双曲守恒律及相关方程的熵稳定格式、WENO格式、中心迎风格式展开研究，取得了如下成果。.1、基于满足符号性质的四阶重构，构造了一种四阶熵稳定格式。为提高计算效率，提出一种基于移动网格的熵稳定格式。为提高分辨率，提出一种基于限制器机制的熵稳定格式用于浅水波方程和理想磁流体方程的求解。通过在单元交界面处进行WENO重构，提出一种WENO型熵稳定格式用于Euler方程组和LMR交通流模型的模拟。.2、将求解双曲守恒律方程的三阶WENO格式进行改进，在使用相同节点的情况下将精度提高到四阶。将求解Hamilton-Jacobi方程的五阶WENO格式进行改进，在使用相同节点的情况下将精度提高到六阶；提出一种求解Hamilton-Jacobi方程的新型WENO格式，该格式放松了线性权的选取要求，仅要求满足对称性和总和为1即可。.3、基于高阶无振荡重构和中心迎风数值通量，构造了高分辨率中心迎风格式，将其应用到对流扩散方程、相对论流体力学方程和交通流方程的数值求解中。