哈密顿动力系统辛方法的若干问题研究

Hamiltonian dynamical system is the one of the active research fields in differential equations and dynamical systems. The global dynamics related the stability, such as periodic and quasi-periodic motions, resonance phenomena (boundedness and unboundedness of the solutions, chaos), invariant tori, are always the hot topics...This project takes some important Hamiltonian models, such as impact oscillators，Hamiltonian impulsive equations, radially symmetric systems, second order equation with indefinite potential, planar time-dependent Hamiltonian system, quasi-periodic system and coupled system, considers their global dynamics related the resonance and stability, such as periodic and quasi-periodic solutions, invariant tori, Lagrange stability and chaos phenomena...The researches of the project eliminate non-smoothness and singularity by using averaging and the transformation of time and space variables, reduce the problems of higher-dimensional to the problems for planar mapping. We consider the qualitative dynamics from the geometric point of view by using symplectic methods. The rotation number, Poincare-Birkhoff twist theorem, KAM Theorem, Aubry-Mather theory, topologcal and variational tools and qualitative analysis will be applied comprehensively...Through the researches of the selected problems, the project will not only contributes to understand nonlinear dynamics of non-smooth.or singular Hamiltonian dynamical systems, but also provide new symplectic and qualitative methods for the research of related models.

哈密顿动力系统是微分方程和动力系统十分活跃的研究领域。其中周期和拟周期运动, 共振(解的有界性和混沌), 不变环面等与稳定性相关的大范围动力学, 一直是属于研究的热点。.. 本项目将选择哈密顿动力系统的一些重要模型（碰撞振子，脉冲哈密顿方程，径对称方程，变号位势方程，平面时变哈密顿系统，拟周期系统，耦合系统），研究它们的周期解和拟周期解、不变环面、拉格朗日稳定性和混沌等动力学行为。.. 本项目的研究通过平均和时空变换消除非光滑和奇异性，把高维问题约化到平面映射上，用辛方法从相平面的几何上研究这些模型的解的定性行为。方法上综合运用旋转数，Poincare-Birkhoff扭转定理，KAM定理，Aubry-Mather理论等工具和拓扑，变分和定性分析等手段。从问题出发，探索研究方案。通过所选问题的研究，理解非光滑和奇异哈密顿系统的非线性动力学机制，发展相关的辛方法和定性方法。

本项目通过平均和时空变换消除非光滑和奇异性，把高维问题约化到平面映射上，用辛方法从相平面的几何上研究碰撞振子，脉冲哈密顿方程，耦合系统，径对称方程，变号位势方程和拟周期系统的解的定性行为。主要成果包括：二阶方程和相对场方程周期解的研究；碰撞振子和脉冲方程的共振；退化脉冲哈密顿方程的多重周期解研究；用旋转数工具给出没有解全局存在性情况下不定哈密顿系统（变号位势方程）应用Poincare-Birkhoff扭转定理的研究框架；平面时变哈密顿系统的周期解研究；基于Mather在几何学和动力学上的最小作用原理给出了对相流严格凸性、超线性、完整性的非自治拉格朗日系统的周期解存在性的一个新的抽象定理及其应用；高维耦合系统的周期解和径对称系统的Lagrange稳定性和拟周期解的研究。通过这些研究成果，理解非光滑和奇异哈密顿系统的非线性动力学机制，丰富和发展了相关模型研究的辛方法和定性方法。