辛不变量与代数结构

This project consists of two parts:.1, Studying the relationships between Fukaya categories and symplectic homology or symplectic field theory. In particular, we plan to study the algebraic structures on Hochschild cohomology, symplectic homology, equivariant symplectic homology, filled linearized contact homology, etc., and the inter-relationships among them..2, We will study the transversality problem of moduli spaces related to the Fukaya category and the linearized contact homology. By applying the virtual neighborhood techniques, we will give a rigorous and much more concise construction. A previous project which studies the relationship between Fukaya category and symplectic field theory will be finished. The advances in this aspect will push forward these related research fields.

本项目包含两个方面: .一、研究 Fukaya 范畴和辛场论、辛同调之间的关系。特别地，研究 Fukaya 范畴的 Hochschild 上同调或循环上同调、辛同调、等变辛同调和 filled 线性化切触同调等的代数结构，以及它们相互间的关系。在这方面研究的进展，将会对辛场论、辛同调、Fukaya 范畴、拓扑场论和同调镜对称猜测等许多问题的研究产生推动作用。.二、针对 Fukaya 范畴和线性化切触同调涉及的模空间的横截性问题，利用 virtual 邻域技术，给出严格且比较起来更简捷的构造，最终完成以前的研究计划。在这方面研究的进展，将会对 Fukaya 范畴和辛场论等领域的研究产生推动作用。

本项目计划针对辛几何中的两方面问题开展研究：一，Fukaya 范畴和辛场论、辛同调上代数结构之间的关系；二、针对 Fukaya 范畴和线性化切触同调涉及的模空间的横截性问题，利用 virtual 邻域技术，给出严格的构造。在执行过程中，遇到一些变动和困难，一部分内容列入更长期的研究计划，又部分地调整了相关研究内容：有关辛对流形、切触对流形和recursion operator的方面，已取得一些研究成果，推广了辛流形和切触流形部分经典结果；开展关于Landau-Ginzburg模型涉及的伪全纯曲线的模空间的研究，得到了一些重要的分析性质；与相关专家开展合作研究gauged Gromov-Witten不变量的计算问题；另外，项目组成员合作研究了薛定谔算子的谱估计有关的问题，改进了前人的结果。受本项目部分支持，项目组成员还取得了偏微分方程方面的研究成果。