关于辛约当代数与辛李代数的关系的研究

Jordan algebras were introduced by physicist P.Jordan in 1930s in the study of quantum mechanics. Then they quickly become a vital and indepondant subject. In 2000 Zhelyabin studied a special class of Jordan algebras which were equipped a nonodegenerate invariant bilinear form. In his work he obtained another important nondegenerate skew-symmetric bilinear form on Jordan algebras. And we call it a Jordan symplectic form. An symplectic Jordan algebra is a Jordan algebra equipped with a nondegenerate Jordan symplectic form. In this work, we mainly study the relationship between symplectic Jordan algebras and symplectic Lie algebras. we give a study on the following topics:. (1) Constructing symplectic a Lie algebra from a symplectic Jordan algebra by “TKK" method;. (2) Getting a method of constructinga left-symmetric algebra from a pre-Jordan algebra.

20世纪30年代物理学家P.Jordan在研究量子力学时提出了约当代数。 后来，约当代数很快就作为一个独立的代数体系发展起来。 2000 年Zhelyabin 在研究一类特殊的具有非退化不变双线性型的约当代数时，找到了约当代数上的另一个重要的反对称的双线性型（我们称之为约当辛形式）。辛约当代数是具有非退化约当辛形式的约当代数。本项目主要研究辛约当代数与辛李代数的关系，具体如下：（1）从一个辛约当代数出发通过“TKK”构造得到一个辛李代数，并考察辛约当代数的性质对辛李代数性质的影响；（2）寻找从一个预约当代数出发构造一个预约当代数的方法。

本相目主要研究辛约当代数与辛李代数的关系。 拟主要从以下两个方面讨论：（1）从一个辛约当代数出发通过”TKK”构造得到一个辛李代数；（2）寻找从一个预约当代数出发构造一个约当代数的方法。方法还是主要考虑类似于”TKK”构造的方法。 TKK”构造的方法.具体如下：.设J是一个有单位元1的约当代数. Ω=R(J)⊕Inder(J)是由J中的右乘算子生成的李代数，J ̅ 是与J同构的一个约当代数，则线性空间L(J)=J⊕J ̅⊕Ω上定义如下乘法：.[a+b ̅+ D_1,x+y ̅+ D_2]= D_1(x)- D_2(a)+φ ((D_1 ) ̅(y)- (D_2 ) ̅(b))+a△y- x△b+[D_1 , D_2 ].其中. (R_a+D) ̅=-R_a+D , R_a∈R(J), D∈Inder(J),. a△b=R_ab+[ R_a+, R_b]. φ 是J 到 J ̅ 的同构，L(J)就 能成为一个李代数。如此来看，此种方法的关键是，找到 恰当的辛形式。而在实际研究过程中，但是由于L(J)较为抽象，J的结构较为复杂，我们没能找到恰当的辛形式，故没能达到预期的目标。 . 在研究过程中我们找到一种新的代数结构：J-quardri-代数，而且可以形成一个对应的约当代数链。具体工作如下：（1）给出了J-quardri-代数的定义；（2）给出J-dendriform 代数与J-quardri-代数的关系；（2）给出了J-quardri-代数上的特定双线性型；（4）给出了J-quardri-代数上特定的方程（类似于李代数上Yang_Baxter 方程）；(5)此外，我们还给出了此代数链与李代数的链和结合代数相应的链的关系.这些对完善这些代数的结构和关系都有较为深远的意义。当然也会在某种程度上帮助我们解决以上暂时未能做出的问题。