代数群与不变量

Lie theory, especially the theory of algebraic groups and quantum groups play an important role in mathematical study and it have been made great progress in last decades. George Lusztig, J.C.Jantzen, H.H.Andersen, Wolfgang Soergel, Peter Fiebig, Geordie Williamson have made great contribution to these direction. One of the fundamental problem in representation theory of algebraic groups is to discribe the invariants. Recently, S.-T. Yau reduces the problem of classifying isolated singularities to the problem of discribe the invariant Jacobian for the action of complex algebraic group. Our project devotes to the discribe the invariant Jacobian for the action of algebraic group over field of characteristic p>0.

李理论，特别是代数群和量子群是数学研究的核心领域之一，在过去的几十年中，该领域(特别是代数群的模表示理论)有了很大的进展。著名数学家 George Lusztig, J.C.Jantzen, H.H.Andersen, Wolfgang Soergel, Peter Fiebig, Geordie Williamson 都活跃在该领域。如何刻画不变量，也是代数群表示论的基本问题之一。近年来，S.-T. Yau 等人将复流形的孤立奇点分类从某种程度上归结为复代数群表示的不变Jacobian空间问题。本项目致力于研究特征 p 域上的代数群的不变 Jacobian 空间的刻画问题。

背景：为了研究复几何中的奇点理论，丘成栋提出了一个刻画李代数的表示的 Jacobian不变量的最高权的一个猜想。对于这个猜想，丘成栋给出了部分结果。为了研究 Jacobian 不变量的结构，Kempf 证明了复半单线性代数群的表示的 Jacobian 不变量一定来自于某个空间上的不变齐次多项式函数。席南华利用 Kempf 的结果以及一系列的巧妙构造解决了一般单连通复半单线性代数群的表示情形下的丘成栋的猜想。在研究Invarian Jacobian结构过程中，一个重要问题是研究不变齐次多项式函数通过群作用生成的子模，这就涉及到代数群的抽象诱导表示问题。.主要研究成果： 1. 把席南华的构造推广到了任意的拟三角Hopf代数表示的情形。. 2. 给出了特征p情形下，限制李代数sl_2的作用的Invariant Jacobian的完全分类和刻画。. 3. 给出了不定特征下简约群的Borel一维模诱导表示的合成因子。. 4. 给出了定特征情形下反支配Borel一维模诱导表示的所有合成因子。