辛几何中的开“格罗莫夫-威腾”不变量

经典的Gromov-Witten 不变量是用从闭的黎曼曲面到辛流形的伪全纯映射的模空间来构造的。它的严格的数学基础，是由阮勇斌和田刚给出的。近年来，一些数学家和理论物理学家开始关心所谓"开的" Gromov-Witten 不变量，这种开不变量是用从带边界的紧黎曼曲面到辛流形的，满足拉格朗日边界条件的，伪全纯映射的模空间来构造的。J.Solomon 对维数不大于6 的辛流形，和某些较特殊的拉格朗日子流形，定义了开的Gromov-Witten 不变量。那么接下来自然的问题就是，如何计算这种开的Gromov-Witten 不变量？以及高维的情形又将如何定义不变量？.申请人计划研究如下课题:.1. 给出计算开的Gromov-Witten 不变量的与做辛流形连通和相关的求和公式。.2. 对于一些特殊的高维辛流形及其拉格朗日子流形，定义开的 Gromov-Witten 不变量。

基于Solomon的工作，即考虑维数不大于6的，带有anti-symplectic involution的辛流形，作为计算Solomon定义的开不变量的第一步工作，我们定义了所谓``相对开的" Gromov-Witten不变量。我们又将 Solomon 的开不变量的定义推广到了更一般的情形。 虽然对于高维辛流形，目前还难以定义一般的开不变量，但在某种抽象的框架下，我们也给出了一种定义不变量的方法。在这方面，已经完成 2 篇论文，并已投稿。. .另外，通过与其他同行合作，我们研究了辛流形的Fukaya范畴导出的代数结构，及其与辛场论中出现的一些代数结构的关系。Fukaya范畴是辛几何与开弦理论研究的重要对象，而数学家Eliashberg、Givental、Hofer奠基的辛场论也是当前辛几何研究的非常活跃的领域。同时它们又与弦拓扑有着紧密而重要的联系。我们所得到的关系，可以看作是联系这两个领域的桥梁，已经得到了这些领域内 Bourgeois、Kontsevich、Fukaya、Oancea、阮勇斌、田刚、D. Sullivan 等专家的关注。在这方面，已经完成 1 篇论文，并已投稿。