辛几何中不变量理论的分析与计算

Invariant theory, whose core tasks include mathematical construction and computations, is frontier and highlight in both symplectic geometry and mathematical physics research. Of all kinds of invariant theories, the most representative are HGW theory and FJRW theory at present, which succeeded in many aspects and also face lots of problems and difficulties. We try to slove these problems by new methods in this project, which includes three tasks: 1. Study Yang-Mills-Higgs functional, using heat flow technique, and obtain analytical properties, especially existence, uniqueness and convergence, of the solution of Yang-Mills-Higgs heat flow, then construct equivariant Morse theory in the sense of Atiyah-Bott. 2. Study index theory of Cauchy-Riemann operators in Witten equation in case of the smooth metric by generalizing Donaldson index theory, Lockhart-McOwen index theory and Chen-Ruan index theory, then try to establish index theory of Maslov operators on orbifolds with boundaries. 3. Combining HGW theory, FJRW theory with Floer theory, study the mathematical theory of gauged linear sigma model with boundaries introduced by Witten.

不变量理论是现代辛几何与数学物理领域研究的前沿和热点，其核心课题有两个，即不变量的数学构造和计算。目前最有代表性的不变量理论是HGW理论和FJRW理论，它们都取得了巨大的成功，但也面临着许多问题和困难。本课题就是要尝试用新方法来解决其中的问题，主要分三个子课题:1.用热流方法研究Yang-Mills-Higgs泛函，建立其热流解的分析性质，特别是解的存在性，唯一性和收敛性问题，然后建立相应Atiyah-Bott意义下的等变Morse理论。2. 推广Donaldson，Lockhart-McOwen，Chen-Ruan等的指标理论，研究Witten方程中Cauchy-Riemann算子在光滑度量下的指标理论，进一步尝试建立一般带边Orbifold上Maslov算子的指标理论。3.综合运用HGW理论、FJRW理论和Floer同调理论研究Witten提出的GLSM模型在带边界情形下的数学理论。

不变量理论是现代辛几何与数学物理领域研究的前沿和热点，其核心课题有两个，即不变量的数学构造和计算。目前最有代表性的不变量理论有HGW理论和FJRW理论，它们都取得了巨大的成功，但也面临着许多问题和困难。本课题就是要尝试用新方法来解决其中的问题，主要分三个子课题:1.用热流方法研究Yang-Mills-Higgs泛函，建立其热流解的分析性质，然后建立相应Atiyah-Bott意义下的等变Morse理论并应用于计算拓扑信息。2. 尝试建立一般带边Orbifold上Maslov算子的指标理论。3.研究Witte提出的GLSM模型在带边界情形下的数学理论。已取得的进展如下：在子课题一，我们得到了底流形是紧致黎曼面时Yang-Mills-Higgs热流的全局弱解的存在性，并得到了序列收敛性等部分结果。我们还在纤维丛为复向量从的情形证明了Lojasiewicz不等式，进而将Wilkin关于Higgs丛模空间的Yang-Mills型热流的光滑收敛性定理成功推广到Bradlow意义下的规范全纯映射模空间，并建立了该模空间的解析分层。作为例子，我们用等变Morse理论计算一维复线丛情形的稳定Vortices模空间的等变Poincare多项式。另外，我们证明当底流形为紧致Kahler流形时关于Vortex泛函的热流全局光滑解的存在性。关于子课题二，受最近Atiyah[AL]证明了带锥奇点度量的指标定理及随后Lock-Viaclovsky[LV]在orbifold情形的推广工作影响，我们研究了带锥奇点度量的orbifold上椭圆算子的指标问题。另外，与人合作，研究了一类Fano流形上带锥奇点的Kahler-Einstein度量的问题，并证明了相应的存在唯一性定理。除此之外，我们还在平均曲率流、离散几何分析等和项目相关的研究方向进行研究。我们研究了积流形中图的平均曲率流，证明了此种情形下平均曲率流的全局存在性和一致收敛性。我们还研究了图上的p次Yamabe问题，分别在有限图和无限图两种情形，证明了p次Yamabe问题正解的存在性。项目目前已完成6篇论文，其中1篇已被SCI二区期刊《J. Func. Anal.》接收，3篇在投，2篇已完成即将在投，另外还有3篇在进行最后的创作中。项目结题后，我们将通过保持和国内外同行的交流合作，继续把研究推向深入，争取取得较大突破。