大型分片线性方程组的数值方法研究

大型分片线性方程组是一类非常重要的非线性问题，在力学、电磁学、水文学、经济管理以及最优控制等领域有广泛的应用背景。由于方程组的光滑程度低、非线性程度高，因而给算法研究带来了一定的困难。如何构造高效的迭代算法来求解此类方程是当前工程人员和计算数学工作者面临的一个重大课题。项目拟研究求解大型分片线性方程组的Schwarz方法、半光滑牛顿法以及探讨基于区域分解技术与半光滑牛顿法相结合的高效迭代方法，从理论上分析算法的收敛性及收敛率，建立相应的收敛性定理，并通过数值试验来检验算法的有效性。

大型分片线性方程组来源非常广泛，如：自由液面水动力学问题的半隐式离散、互补问题的数值求解以及正则化优化问题的一阶必要条件等等. 本项目结合方程组的具体背景提出了快速迭代算法来求解..第一、提出了阻尼半光滑牛顿法来解由自由液面水动力学问题的半隐式离散得到的一类分片线性方程组. 在一定的条件下证明了算法具有单调收敛性以及有限步终止性. 与已有的算法相比较, 新的算法只需要2n步迭代就可以找到问题的解；.第二、结合半光滑牛顿法（Semismooth Newton）以及Schwarz迭代法提出了半光滑牛顿Schwarz迭代法（Semismooth Newton Schwarz iterative method）来解离散HJB方程，在一定的条件下证明了算法具有单调收敛性以及局部超线性收敛性；.第三、研究了Schwarz算法（包括加性、乘性Schwarz算法以及限制Schwarz算法）来求解分片线性方程组，给出了算法的收敛率估计，数值试验表明了算法具有与网格步长无关的收敛性质；.最后、利用正则化优化问题的一阶必要条件导出的分片线性方程组, 提出了基于梯度的算法（Gradient based method）来求解正则化优化问题. 在一定的条件下证明了算法具有全局收敛性. 数值实验表明了算法的有效性.