自相似测度的柯西变换

本项目研究自相似集上自相似测度的柯西变换以及它们的应用，研究这样"复杂而又规则"的集合和测度在这个变换下反射出来的性质。关于边界性质：研究Holder连续延拓问题，研究变换及导数当z逼近边界时的渐近增长问题，研究边界像曲线的维数估计问题；对Sierpinski垫的情形，我们研究"像区域边界的原像是一Cantor集"的猜想。关于Laurent系数性质，我们研究它的渐近表达式和它的精确增长率。关于几何性质，我们研究映照的星形半径和凸性半径以及像区域的Steiner对称性质。我们结合解析函数空间理论的研究、利用这种变换的复杂性，探讨为某些经典开问题提供反例的可能性；我们也联系小波理论、图像压缩来研究这样的变换。以上研究在位势理论、概率论、几何分析(不可求长，解析容量，维数)和信息学科中都能找到背景和应用，特别，这种研究不仅为复分析的研究开辟了一个新的方向，同时也丰富了分形几何的研究内容。