解析函数的康托边界性质和娄伍拉方程

解析函数的边界性质研究具有悠久历史，近十多年来，分析几何催生了康托边界性质(CBB)的研究，而布朗运动演义产生的随机娄伍拉方程(SLE)紧宻联系到共形映射的边界性质。本课题组对具有CBB的解析函数，已从拓扑方面建立了三个判别准则，证明了康托型集猜想，也证明了各连通分支也有CBB。而SLE的引入导致解决了布朗运动外边界维数的猜测，证明了伊辛模是共形不变的，更产生了两个菲尔兹奖。.本项目除了继续研究CBB的判别条件及应用外, 主要从测度论方面研究解析函数的康托边界性质：像区域外边界的维数, 外边界原像(康托型)集的测度和维数. 我们将CBB和SLE结合研究，例如上述维数研究可否用SLE方法？而平面布朗运动的外边界的原像和各连通分支可否用CBB的观点探索？本项目还研究与CBB紧宻相关的有重叠的无穷迭代函数系、自仿集的连通性、小波框架的构造及逼近论专题等。

本项目研究了分形测度的Cauchy变换的分析性质和几何性质，提出了解析函数康托边界性质的概念。什么样的解析函数f具有Cantor边界性质？在本项目中，我们建立了三个充分条件。利用这些条件，我们证明了几个解析函数类具有Cantor边界性质，也证明了一类缺项级数（包含复Weierstrass函数类）具有Cantor边界性质，特别我们利用这个条件证明了Cantor型集猜想：设F是Sierpinski垫上的Hausdroff测度的Cauchy变换，则F具有Cantor边界性质. Cantor型集猜想的证明涉及分形几何理论、复变函数几何理论、覆盖曲面理论和几何拓扑分析等内容，是一综合性很强的研究成果。.对上述变换F，我们也刻划了F的边界性质、渐近自相似性质，确定了F的实部或虚部在边界上图形的盒维数；还证明了导数|F'（z）|的准确增长率及讨论了相关的正则性；建立了F在Sierpinski垫的三个顶点处的渐近表示式,确定了分数次项的系数是一非常数周期函数，从而否定了Strichartz等人提出的另一个猜想。.本项目也研究了上半平面的Loewner 微分方程。主要研究驱动函数λ(t)与对应的裂纹γ(t)，在t=0时，两者之间的关系。在某个非常弱的条件下，给出了λ(t)/ 和γ(t)/ 在t=0时的极限，从而建立了λ(t)和γ(t)在t=0时的渐近表达式。对于Loewner 微分方程产生的hull落在角形区域时，我们证明了有关上述渐近表达式的有关猜想。本项目还研究了在γ(t)/ 中分母t的指数取值范围，发现了取遍（0，1/2〕的各种可能性，澄清了人们的期待。.本项目也研究平面自仿Tile的连通性。设生成Tile的数值集是两类平行四边形网格的各顶点，我们给出了这些网格边长之比与扩张矩阵元素之间的一些条件，以保证所生成的自仿集是连通的，这些条件或为充分或为必要的..本项目也研究了一类奇异测度是否有Fourier正交基的问题，这些测度具有紧支撑，我们确定了具有Fourier正交基的条件。