分形几何与复分析交叉领域的几个问题

Fractal geometry is a fast growing area. It contains many new ideas, new techniques, and explains and resolves many problems concerning the chaotic phenomena in nature as well as in mathematics. The study of fractals is very diverse, and in some directions, it involves heavily with classical analysis, in particular, complex analysis. .In this project, we propose several problems interweaved with fractal geometry and complex analysis.Firstly, we consider the self-affine tiles in the plane that is homeomorphic to the unit disk (disk-like tile). It involves the boundary dimension, the conformal module, and the integral mean spectrum of the conformal map from the unit disc to the tile.Secondly, we will study the class of the analytic functions and compact sets K that satisfy f (K)=f (C) where C is the extended complex plane. This is related to a conjecture of Strichartz of the Cauchy transform on the Sierpinskigasket.Thirdly, we continue our investigation on the Cantor boundary behavior (CBB) of analytic functions, with emphasis on the dimension and the measure of the boundaries of the images and their pre-images. Finally we will study the Loewner equation of its driving function, capacity and the hull of the trace.The cross information of this equation and CBB will also be explored.

分形几何是一个新兴学科，发展过程中产生了许多新观点，新方法和新技巧，也解决了一些历史遗留问题和解释了一些混沌现象. 同样，分形几何与复分析的交叉研究也给经典复分析提出新观点和注入新活力. 本项目研究分形几何与复分析交叉领域的几个问题. 首先研究平面上具有disk-like性质的自仿Tile，涉及它的边界维数、共形模、f的积分平均谱等, 这里f是单位圆盘到这个Tile的共形映射. 其次研究紧集K上的函数代数性质：f(K)=f(C)和Sierpinski垫上的Strichartz猜想，这里C代表扩充复平面. 第三，我们继续研究解析函数的Cantor边界性质(CBB)，涉及边界维数，区域外边界的原像的测度和维数. 最后我们研究联系到娄伍拉方程的驱动项、容量、Hull之间的关系，以及这个方程与CBB的交叉信息.

NNSF--11571099结题摘要.本项目围绕分形几何与复分析、Fourier分析交叉领域展开研究. (1) 在分形几何与复分析交叉研究方面, (1.1)我们考虑一类具有某种对称性的吸引子K，研究其上的豪斯道夫测度的Cauchy变换F，我们刻画了F的几何性质与分形性质，例如像区域的星形性质、凸性性质、F的单叶性质以及F在K附近的混沌性质； (1.2)我们证明了函数代数上关于像区域覆盖的一个猜想(著名数学家Strichartz提出)，并将其推广到高维空间；(1.3)我们还研究了Loewner方程的驱动项与迹,确定了驱动项的Hölder指数的变化范围(在之前是一个盲区). (2)在分形几何与Fourier分析交叉研究方面, 有一个百年老问题, 即是否存在奇异非原子测度μ适合它的平方可积空间中的函数均有Fourier展开. 1998年P. Jorgensen 和S. Pedersen找到了一个这样的测度μ(称为谱测度). (2.1) 我们建立了多个判别法, 确定了一类分形测度的谱性(是谱测度或不)，(2.2)对一类谱测度μ,确定了它的谱具有树结构以及具有scalling性质的判别条件. (3) 关于复动力系统的有关问题, 我们研究了只有一个自由临界轨道的正规有理函数的动力系统，给出了其Julia集合的拓扑分类. .本项目发表26篇论文(均有标注)，其中SCI论文22篇，国际数学权威期刊5篇(例如Trans. Amer. Math. Soc., Journal of Functional Analysis等). 培养了2位博士和2位硕士，其中送2位博士生到美国和加拿大联合培养一年.