调和分析方法在色散波方程和Boltzmann方程中的应用

拟研究源于量子物理、水波、流体力学、空气动力学等科学领域中的非线性偏微分方程（组）的相关数学问题。重点研究：其一，（带有耗散项的）非线性色散波方程；如：广义Benjamin-Ono方程，分数阶Schr?dinger 方程，五阶浅水波方程，二维Zakharov系统，Kadomtsev- Petviashvili-I方程，广义的Ginzburg -Landau方程；拟利用调和分析的方法和技巧研究其初值问题解的适定性，解的长时间行为以及解的非粘性极限行为等一系列备受关注的问题。其二，空气动力学中的重要模型Boltzmann方程；拟利用调和分析的方法和技巧，研究其没有Grad截断假设下定解问题弱解的正则性和相应的数学性质。.这都是具有很强的应用背景的问题，在国际非线性偏微分方程研究领域中是本质的和十分重要的前沿课题之一，具有重要的理论意义并在工程数值模拟中具有实际应用价值。

本项目在调和分析方法在色散波方程和Boltzmann方程中的应用的相关课题上取得重要进展，主要包括：充分利用二进制型的Bourgain空间,高维空间下的局部光滑效应和最大函数估计, 并且利用一些初等不等式和littlewood-paley分解技术，应用到与之相关的一些色散波方程上去；深入研究了高维的广义的关于涡旋丝的四阶非线性Schrödinger方程的初值问题解的局部适定性，得到了适定性的最佳的结果； 深入研究了分数阶的Schrodinger方程解的适定性问题，得到了适定性的最佳的结果；深入研究了高维的广义的Ginzburg-Landau方程的相关问题; 深入研究了一维的修正的KdV方程，一维带导数的非线性Schrodinger方程，一维经典的三次非线性Schrodinger方程解的低正则性解；得到了这三个方程解的最佳适定性结果；其中共发表和接受5篇论文， 投出去3篇, 并出版专著一本。