若干非线性变分问题的研究

Study on nonlinear variational problems is a hot field in nonlinear analysis arround the world. Our main task of this project is to study a class of nonlinear elliptic partial differential equations and systems which have strong applied background. More precisely, first, we study a class of nonlinear Schrödinger equations and systems, we study the existence of positive solution, sign changing solution and also the multiplicity of solutions, we also study the asymptotic behavior of these solutions. Then we study Kirchhoff type equations, we study the existence of ground state solution, bump solutions and also the asymptotic behaviors of these solutions. In the end, we study a class of fractional partial differential equations. By considering the corresponding local problem, using variational methods, we study the existence of ground state solution, bump solution and also the asymptotic behavior of these solutions. Our research to these problems can not only solve some applied problems, but also it is important to the development of mathematical theory.

对非线性变分问题的研究是国际数学界、非线性分析领域中一个非常活跃的研究方向。本项目的主要目的是对几类有很强应用背景的非线性椭圆型方程及方程组解的存在性，渐近行为等定性性质进行研究。具体来讲，我们首先利用变分法研究几类非线性薛定鄂方程及方程组，讨论其正解，变号解以及多解的存在性、渐近行为等； 然后研究Kirchhoff 类型的偏微分方程， 讨论其基态解，多解的存在性及渐近行为。最后我们研究几类分数阶偏微分方程，通过讨论其对应的局部问题，我们利用变分法研究其基态解，多峰解存在性及渐近行为。对这些问题的研究，不仅涉及到非线性分析，而且也涉及到拓扑等理论分支。因此，我们的研究不仅可以回答很多应用问题，也可以推动一些数学理论分支的发展。

在项目执行过程中基本按照原计划进行. 鉴于学科本身特点, 在项目的具体实施过程中可能会有时间上的偏差.另外预期结果中有的比原有结果更完善,有的可能会没有预期的那么完美.总体来说, 项目进展顺利。.获资助以来的取得的重要进展和研究成果归纳如下:.（1）我们研究了一类具有临界指数的拟线性薛定谔方程和方程组解的存在性和多解性结果.（2）我们研究了一类具有临界频率的拟线性方程。综合应用变量替换、截断和极大极小原理等思想方法，我们在临界频率的假设条件下，得到了多峰解的存在性和解的集中现象。.（3）用截断方法结合次临界逼近以及Lp正则逼近思想，我们研究了定义在全空间上的一般拟线性临界方程无穷多解的存在性。.（4）我们研究了一类定义在全空间上的临界拟线性 Schrödinger 方程组，通过变分的方法，证明了正基态解的存在性，以及当参数λ充分大时，这些解集中现象。.（5）我们研究了一类奇异扰动临界拟线性 Schrödinger 方程，通过变量替换与变分的方法，我们不仅证明了正基态解的存在性及其集中行为，而且得到了多重正解的存在性及其相应的集中行为，.（6）我们利用构造性方法结合Lyapunov-Schmidt约化方法，得到一般具有临界增长的多重调和算子方程无穷多非径向解的存在性。 .（7）通过借鉴Schmit有限约化方法的思想，用构造性方法研究具有临界指数增长的多重调和Henon方程无穷多非径向对称解的存在性。.（8）利用Benci伪指标理论以及Nehari方法，我们先后探究了三类非局部椭圆方程，即分数阶Schrödinger方程、Choquard方程以及分数阶Choquard方程的解的多重性以及正基态解的存在性、收敛性、集中性和衰减性。. (9) 我们对一类具有临界指数的分数阶Laplace方程，通过建立合适的Pohozev恒等式，并精确估计其中各项，进而证明了这类方程解的局部唯一性。.(10) 我们研究了一类临界Grushin型问题，通过应用Lyapunov-Schmidt约化的方法证明了该问题有无穷多柱状对称的正多峰解。