强不定变分方法在若干非线性问题中的应用

This project is devoted to the applications of strongly indefinite variational metods in some nonlinear problems. We will study nonlinear Schr?dinger equation, Choquard-Pekar equation and Schr?dinger equation with magnetic field. For nonlinear Schr?dinger equation,we assume that 0 is contained in the spectrum of the linear operator. We discuss the superlinear case and asymptotically linear case, respectively. We obtain the existence and multiplicity of solutions for both superlinear problems and asymptotically linear problems. we weaken the classical Ambrosetti-Rabinowitz condition, so that the results can be applied to more general nonlinear problems. In our assumption, the (PS) condition can not be satisfied. We use Cerami sequence to obtain the solutions. Furthermore, we discuss the existence and multiplicity of solutions for Choquard-Pekar equation with nonlocal nonlinearities and Schr?dinger equation with magnetic fields. These problems arise in electromagnetism, quantum physics, plasma physics, quantum chemistry, Bose-Einstein condensation and nonlinear optical, with a significance of applications in these nonlinear problems.

本项目主要研究强不定变分方法在若干非线性问题中的应用。具体的问题包括非线性Schr?dinger方程、Choquard-Pekar方程以及带有磁场的Schr?dinger方程。对非线性Schr?dinger方程，我们研究算子本质谱包含0的非线性问题，分别讨论超线性及渐近线性情形解的存在性及多重性。在超线性情形，我们减弱经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件，使得结果可以应用于更一般的非线性问题。在我们的假设下，经典的(PS)条件一般不能满足，我们使用Cerami序列进行论证。此外，还将研究Choquard-Pekar方程以及带有磁场的Schr?dinger方程，分别讨论带有非局部项或者磁场的问题解的存在性及多重性。这些问题出现在电磁学，量子物理，量子化学，Bose-Einstein凝聚，等离子物理，非线性光学等应用领域，具有很好的理论意义和应用价值。

上世纪九十年代以来，强不定问题变分方法引起了研究者的广泛关注。这类问题来源于各种数学物理问题，比如非线性Schrodinger方程、非线性Hamilton系统、非线性Dirac方程以及非线性扩散系统等。在这些问题中，由于算子负空间是无穷维的，难以在研究中应用Morse理论等经典方法，因此成为非线性分析领域具有挑战性的课题。经过国内外数学家近二十年的不懈努力，强不定问题的研究得到了很好的发展，但是仍有很多有意义的问题有待进一步研究。同时，随着交叉学科的不断发展，新的问题大量涌现。因此，进一步研究强不定变分理论在交叉领域的应用，使其在更多自然科学的非线性问题中发挥作用，具有深远意义。. 本项目研究强不定变分方法在若干非线性问题中的应用。具体的问题包括非线性Schrodinger方程、Choquard-Pekar方程以及带有磁场的Schrodinger方程。对非线性Schrodinger方程，我们研究算子本质谱包含0的非线性问题，分别讨论超线性及渐近线性情形解的存在性及多重性。在超线性情形，我们减弱经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件，使得结果可以应用于更一般的非线性问题。在我们的假设下，经典的(PS)条件一般不能满足，我们使用Cerami序列进行论证。此外，还将研究Choquard-Pekar方程以及带有磁场的Schrodinger方程，分别讨论带有非局部项或者磁场的问题解的存在性及多重性。项目完成了多篇研究论文，部分已经发表在国际认可的学术期刊，得到国内外同行的引用与关注。同时还有一些成果已经投稿。