与变分法有关的非线性椭圆型方程及方程组问题

很多理论物理、天体物理、流体力学等应用问题都可以由一个非线性椭圆型方程，或几种类型的非线性椭圆型偏微分方程的耦合组来描述。本项目的主要目的是对几类有很强应用背景的非线性椭圆型方程及方程组的解的定性性质进行进一步研究。对非线性薛定鄂方程及方程组利用变分法讨论其稳态解的存在性、渐近性等；对含参变量的非线性椭圆方程，讨论其多解的存在性和渐近行为；对于超线性、渐近线性的椭圆问题讨论在不同的边界条件下解的存在性及其性态。将椭圆方程与各种发展型方程相联系，从稳态解出发，发展并建立新的理论工具来刻画发展型方程解的大时间行为（如渐近正则性、复杂度估计等）；尝试将一般椭圆理论推广到分数阶偏微分方程，建立能反映和适应分数阶方程特性的（变分）理论框架。对这些问题的研究，不仅涉及到非线性分析，而且也涉及到几何、拓扑等理论分支。因此，我们的研究不仅可以回答很多应用问题，也可以推动一些数学理论分支的发展。

本项目的研究基本上按照研究计划展开的，具体来讲，在本项目中，我们在带有次临界指数以及临界指数的薛定谔方程多解方面的研究，来自Bose-Einstein凝聚态的椭圆型方程组多峰解方面的研究，几类发展方程方面的研究等领域取得了研究进展，这些研究成果对于丰富相关领域的理论基础，对于相关研究方法的改进等方面都有一定意义及价值。我们共发表文章21篇。