拟共形映射与双曲型度量

本项目将通过建立拟双曲度量、距离比度量和Apollonian度量等双曲型度量之间的内在联系，刻划各类区域的几何特征，计算出几类典型区域的拟迷向常数，揭示拟迷向域和A一致域的关系并给出具有比较性质区域的新特征，澄清Euclidean双Lipschitz映射和Apollonian双Lipschitz映射之间的内在联系；通过对区域近边界处的点之间的Apollonian度量的精确估计和控制给出Apollonian度量在拟共形映射下的偏差估计，建立拟共形映射的判别准则；引入Apollonian伪测地线概念并给出它的几何与分析性质，利用伪测地线技术研究Beardon猜想。通过对本项目的研究能为区域的完整分类和拟共形映射的应用研究提供理论支撑，也能为更好的解决Beardon猜想提供新的技术。

利用双曲测地线和拟双曲测地线技术以及Mobius变换的基本性质给出了双曲度量、拟双曲度量、Apollonian度量、Poincare度量、Techmuller度量和Caratheodory度量之间的内在联系，建立了这些度量之间的精确或渐近精确不等式，通过对不同度量性质的刻划，较为完整的给出了空间区域的分类，并对各类区域和拟球的相关量进行了比较，给出了高维拟球的系列新的充分、必要和充要条件。. 利用Apollonian度量的Mobius不变性，给出拟球、一致域、拟凸域、John域、Cigar域等典型区域的拟迷向常数的准确值或精确不等式。. 利用变分原理和函数迭代等方法建立了拟共形偏差理论，进而给出了Ramanujan模方程解的渐近估计。. 利用奇异积分和调和分析理论给出了Ramanujan模方程的解及其复合（组合）的显式上下界估计，对拟迷向域和A一致域分别给出了几何和分析刻划，建立了二者之间的内在联系并给出了具有比较性质区域的本质刻划。. 利用区域的比较性质发现了Euclidean双Lipschitz映射和Apollonian双Lipschitz映射之间的本质联系与差别，分别建立了这二类映射的判别准则和等价条件。. 利用Hausdorff测度的偏差估计给出了拟共形映射的充要条件，证明了单位球之间的拟共形自映射满足Possion方程，并推广了拟共形映射的等度连续性理论。. 建立了Holder域和Trudinger域为拟共等价的必要和充分条件，给出了区域近边界处点之间的Apollonian距离的显式估计。. 通过对Toader平均、Seiffert平均、广义对数平均、二次平均、指数平均、反调和平均和Neuman-Sandor平均等二元平均的比较，发现了拟共形特殊函数的系列精确或渐近精确不等式；. 最后，引入Apollonian伪测地线概念并给出它的几何与分析性质，利用伪测地线技术在某些特殊区域上解决了Beardon猜想。