四元数双曲几何与拟共形映射

The quaternionic hyperbolic space is an important space among the rank-one symmetric space of non-compact type. Quaternionic hyperbolic geometry is significantly different from real or complex hyperbolic geometry. Due to the difficulty caused by the noncommutativity of quaternions,quaternionic hyperbolic geometry is less well undersood. However, because real or complex hyperbolic space is a subspace of quaternionic hyperbolic space, any breakthrough in quaternionic hyperbolic geometry will affect the theory of real or complex hyperbolic geometry. Using tools and methods of related fields such as Lie group, Riemanian geometry and geometric function theory, we will investigate the following three problems:.(1) the algebraic and geometric characteristic of the Hurwitz-Picard modular group;.(2) Heisenberg group and the quasiconformal mappings on it;.(3) the deformation theory of discrete subgroups acting on quaternionic hyperbolic spaces.. The above closely interrelated researches are three core problems in quaternionic hyperbolic geometry. These works will not only make contribution in quaternionic hyperbolic geometry but also supply new theory or effective tools for real and complex hyperbolic geometry. We think that this project has important theoretical significance and potential application value.

四元数双曲空间是秩为一的非紧致对称空间中一个重要的空间。四元数双曲几何与实或复双曲几何有着显著的不同。因四元数的非交换性带来的困难，人们对四元数双曲几何知之甚少。但由于实或复双曲空间是四元数双曲空间的子空间，四元数双曲几何研究上的任何突破都将影响实或复双曲几何的相关理论。本项目拟综合利用李群,黎曼几何及几何函数理论等领域的相关方法来研究如下三个方面的问题：.(1) Hurwitz-Picard模群的代数几何特征；.(2) Heisenberg群及其上拟共形映射；.(3) 复和四元数双曲空间离散群的形变理论。.以上相互紧密联系的研究内容是四元数双曲几何中的三个核心问题。这些问题深入系统的研究与解决，不仅将促进四元数双曲几何基础理论的发展，也将对实和复双曲几何的研究提供新的理论或有效工具，有重要的理论意义和潜在的应用价值。

四元数双曲空间是爱因斯坦相对论时空数学模型的推广,也是秩为一的非紧对称空间中重要的空间. 实双曲空间上相关问题的研究是复分析研究领域相当活跃的分支. 而复或四元数双曲空间是实双曲空间的重要推广,其上的研究相对较少. 随着多复变函数等相关学科发展的需要,四元数双曲空间研究近几十年来得到了众多数学家的关注. 本项目主要研究四元数双曲空间基础理论和与之相关的科学问题. .. 我们得到了Hurwitz-Picard模群的三元生成系统； 得到了四元数双曲轨形的最小体积估计，并改进了已有的实和复双曲轨形的最小体积估计结果；得到了四元数双曲空间上n+1个有序点在空间变换群作用下的配置空间; 得到了四元数双曲几何中的两个偏差定理；得到了PO(2,1)与可逆分裂四元数的关系，并提出了t-相似的概念,可以表述一些存在的相似关系； 研究了分裂四元数的一元二次方程，得到了计算ax2+bx+c=0根的显式公式； 通过在分裂四元数上求解方程ax=b和ax2+bx+c=0的公式，理解了2阶分裂四元数矩阵的左谱，为在非交换和非可除代数中理解一般矩阵的左谱难题提供借鉴，相关结果可能在物理学中找到潜在的应用；通过矩阵表示， 研究了几类几类Clifford代数的Moore-Penrose广义逆,应用广义逆得到了一些方程的解；研究了几类微分方程的值分布理论，并在四元数在图像处理方面的应用作了一些有益的探索... 以上相关结果是实或复双曲空间的相应结论在四元数双曲空间上的重要推广,为深入研究四元数双曲空间的其它性质提供了重要的工具.