几类高维微分系统的周期轨分支

Bifurcations and limit cycles of nonlinear dynamical systems play an important role in many fields and have broad theoretical and practical applications. At present, the bifurcation theory of planar differential systems is very rich and deep. But as for high-dimensional differential systems, the bifurcation theory frame is still incompletely and the methods are relatively weak. The research concentrated periodic orbit bifurcations of some high-dimensional smooth and piecewise smooth differential systems. Using qualitative theories analyse the bifurcation phenomena and according to the first order Melnikov function expansions calculate the number of periodic orbits and location. The research of this project will enrich the theories and methods of nonlinear science, and provide the theoretical basis for the research of practical applications.

非线性动力系统的分支和周期轨的存在与个数问题在许多学科中都有重要的意义，具有广泛的理论和应用价值。目前二维微分系统的分支理论已经建立了比较完善的研究体系，但是高维微分系统的复杂性和计算难度相较于二维都有很大的提升，对高维微分系统的分支理论还没有建立起系统而完善的研究方法。本项目集中对几类高维光滑和分段光滑微分系统的周期轨分支问题进行研究，利用定性理论的方法分析系统所产生的分支现象，并根据高维微分系统中的一阶Melnikov函数的展开式得到分支产生的周期轨个数及其位置分布。本项目的研究将丰富非线性科学的理论和方法，为应用问题提供理论依据。

非线性动力系统的分支问题一直是非线性科学中比较活跃的研究课题，在本项目中我们研究了几类微分系统的分支问题。首先，我们对高维微分系统的分支问题展开研究，利用定性理论的分析方法结合一阶Melnikov向量函数的展开式进行计算，分别得到了某类高维分段光滑近哈密顿系统由退化的同宿分支产生的周期轨个数以及由退化的Hopf分支产生的周期轨个数。其次，我们补充了二维分段光滑微分系统的分支问题，通过改变分段李纳多项式系统中的参数，利用计算焦点量的方法，得到了三类二维分段光滑李纳系统的极限环分支问题的结果，这些结果的得出将丰富高维微分系统的理论和方法，促进高维微分系统分支问题的解决。综合上述结果，本项目的研究将为非线性动力系统的分支问题奠定扎实的工作基础，为非线性科学的发展提供理论依据。该项目资助发表论文5篇。项目投入经费23万元，支出12.8155万元，剩余经费10.1845万元，剩余经费计划用与本项目研究后续支出。