几类平面微分系统的极限环数目上下界及分布情况

This project plans to research the bifurcation of limit cycles for several calsses of non-Hamiltonian intergrable planar differential systems with n-order polynomial which has single parameter perturbed terms. By using the Picard-Fuchs equation and the Riccati equation, we determine the upper bound of maximum number of isolated zeros for Abelian integrals of the planar systems, that is, the upper bound of limit cycle numbers to the systems. At the same time, we obtain the relationship between the upper bound of limit cycle numbers and the degree n of the polynomial. According to the numeral calculations, we investigate the bifurcation of limit cycles for several types of non-Hamiltonian integrable planar systems with some low-order polynomial single parameter perturbed terms and obtain the detection function curve of limit cycles. By the numerical simulation method, we research the lower bound of limit cycle numbers to the systems and their distribution. For several classes of planar systems with multi-parameter perturbed terms low-order polynomial, we will study the bifurcation of their limit cycles through the bifurcation theory of limit cycles method and the relationship between focus values and the Hopf bifurcation. At the same time, we obtain the lower bound of limit cycle numbers to the systems and their distribution. Using some new methods and new techniques of transformation, we may obtain some distribution of limit cycles, and better the upper or lower bound of limit cycle numbers for the planar systems. The research work about planar systems with perturbed terms, which is related to the 16th Hilbert problem, has high academic value and it is very important and meaningful.

本项目计划研究几类非哈密顿可积平面系统在单参数多项式n次扰动下极限环的分支情况，使用Picard-Fuchs方程法，结合Riccati方程，研究它们的阿贝尔积分孤立零点最大个数（包括重数）的上界，即极限环数目的上界问题，给出上界与多项式次数n的关系。研究几类非哈密顿可积平面系统在单参数低次多项式扰动下极限环的分支情况，通过数值计算，得出极限环判定函数曲线，结合数值模拟方法，研究系统极限环数目的下界及其分布规律。研究几类平面系统在多参数低次多项式扰动下极限环的分支情况，使用极限环分支理论方法，通过焦点量与Hopf分支的关系，研究系统极限环数目的下界及其分布情况。估计通过使用一些新方法和新的变换技巧，有望发现一些极限环分布的内在规律，从而获得平面系统的极限环数目的一些好的上界和下界。扰动平面系统极限环问题是希尔贝特第十六问题的一部分工作，具有很高的学术价值，因此开展此项研究工作非常有意义。

希尔伯特第16问题已经成为超过100年的经典问题，为此，俄罗斯数学家V.I. Arnold于1977年提出了解决此问题的一个弱化问题，研究系统的阿贝尔积分孤立零点个数（包括重数）的上界，这个问题被称为弱化的希尔伯特第16问题。为此人们计划研究二次系统的阿贝尔积分孤立零点个数的上界，又由于二次可逆系统具有良好的函数性态，所以项目组先研究亏格1形式二次可逆系统的阿贝尔积分孤立零点个数的上界问题。.项目组研究亏格1形式二次可逆系统的阿贝尔积分孤立零点个数的上界（极限环个数上界）估计，寻找上界的规律；研究可积平面系统在单个小参数低次多项式扰动下的极限环分支，寻找其极限环的最大个数及各种分布情况；研究几个在物理学或力学上具有实际意义的非线性微分系统，寻找它们的新的周期波解及孤立波解等。.项目组解决了他人余下的几乎所有亏格1形式二次可逆系统阿贝尔积分孤立零点个数的上界问题，获得了“亏格1形式二次可逆系统阿贝尔积分孤立零点个数（包括重数）的上界都线性依赖于扰动多项式的次数n”的成果；对几个2次、3次、4次、5次可积非Hamilton系统或Hamilton系统在3次、4次、5次特殊多项式扰动下极限环的个数及分布情况进行了研究，找到的极限环个数比之前给出的多一些，分布情况也更加丰富；研究了3个著名非线性微分动力系统的有界行波解，由于使用了一些新的办法，找到一些他人没有找到的波解。.项目组在国内外刊物上发表论文15篇，其中在“J. Appl. Anal. Comput.”及“Journal of Nonlinear Modeling and Analysis”国际期刊上发表5篇（均为T3期刊），参加国际会议3篇，核心期刊1篇，国内一般期刊6篇；3篇被SCI收录，2篇被EI收录，3篇被MR收录，1篇被CSCD收录。.这些成果将会被理论数学、生物数学、天体力学等学科应用。