非线性分析及在微分方程中的应用

本项目探索和研究处理非线性问题的一些方法，并与非线性分析的临界点理论和拓扑方法相结合研究1）来自统计物理学中带有爆破边界条件的非线性椭圆微分方程的解,特别是对混合边界爆破问题解的唯一性作深入研究;2）发展奇异摄动理论以及对Allen-Cahn 方程中出现的层与峰给出深刻的刻画，尤其是在高维空间;3）刻画P-Laplacian方程和整个空间上齐次方程、特别是具有陡的位势井的方程的 Fucik谱，并应用于跳跃非线性Schrodinger方程多解与变号解个数和几何形状问题；4）Kirchhoff-type椭圆问题多解与变号解，相应特征值问题研究；5）非线性算子特征值问题。本项目是当前国际上的前沿课题，是非线性分析及其应用领域中一个十分活跃的方向，具有深刻的理论和实际背景，因而具有重要的理论意义和应用价值。这些问题的解决不仅可以为实际问题提供丰富的信息，而且对数学理论自身的完善和发展也非常重要

本课题组从以下四个方面展开研究：.1. 非常规椭圆边值问题及Allen-Cahn方程.我们引进更一般的弱解概念，建立了一系列新的比较原理，得出了混合边界爆破等多种边值问题解的唯一性；进一步分析此类解在边界以及无穷远的渐进性质，利用上下解方法、拓扑度以及分歧理论解决了无界区域具有变号系数Allen-Cahn解的存在定理、唯一性以及多解存在性定理；建立精细的先验估计，通过能量计算以及隐函数定理得到了描述三个物种内部反应的反应扩散方程组正的非常数稳定解的不存在性；通过分析解在分歧点的渐进性质，得到了一类描述核反应过程的反应扩散方程组在高维空间解的唯一性存在定理。.2. 多物种Lotka-Volterra竞争模型.研究多物种Lotka-Volterra竞争模型及竞争系数趋向无穷时的相应的奇异极限方程组的解。我们证明了方程组解的存在性、唯一性、相应抛物问题中时间趋向正无穷时解的稳定性以及一致Lipschitz估计等结果。 也对奇异极限方程组中的自由边界的测度给出了估计；研究困难的多物种Lotka-Volterra竞争模型的周期解问题，证明多物种 Lotka-Volterra 竞争系统竞争系数充分大时无周期解、且给出解的渐近性质，证明了由S. Terracini 等人部分证明的一个猜想结。.3. 无紧性 Kirchhoff 型非局部问题解的存在性.我们建立变分框架，对Kirchhoff 型椭圆问题进行研究，得到变号解和多解，在我们以往的成果基础上，进一步研究一类Kirchhoff-type非局部（nonlocal）问题以及P-Laplacian方程组，利用极值原理、下降流，采用（PS）吸引子和Cermi序列，结合无PS紧性条件的临界点理论得到变号解和多解的存在。. 4. 研究非线性特征值.深入研究了分数阶非线性微分方程周期边值、奇异多点边值、积分边值问题以及高阶非线性奇异边值问题正解存在充分必要条件；Sturm–Liouville微分方程系统边值问题正解的存在性；偏微分方程尤其是双调和偏微分方程多解和无穷多个非平凡解的存在性。.课题组发表SCI 检索论文39篇，EI 检索4篇，出版专著1部；依托本课题举办了一次国际学术会议，参加国内外学术会议17次，培养了多名博士、硕士研究生