动力系统中的高度有界问题

In this project we study bounded height problems from complex dynamics and arithmetics dynamics. The objects we study in this project include dynamical systems mainly from polynomials. Arithmetic height function, which measures the arithmetic complexity of points in a variety, plays an important role in the study of number theory, arithmetic geometry and dynamics. People in number theory, arithmetic geometry and arithmetic dynamics concern bounded height questions, which are interesting by themselves and also have many applications. In this project, we focus on studying bounded height problems from dynamics.

本项目致力于研究复动力系统与算术动力系统中具有特殊动力系统意义集合的算术复杂度。 研究对象主要是由多项式所确定的动力系统。高度函数作为算术复杂度的一个刻画，在数论，算术几何和动力系统的研究中扮演着重要角色。高度有界问题是数论，算术几何学家非常关心的问题，并且有很多相应的结果及应用。 本项目将主要研究动力系统中集合的算术高度有界问题。

动力系统中具有一定动力系统意义的集合的算术复杂度是我们这个项目所关心的问题。Call-Silverman的典范高度可以刻画出一个点的动力系统算术复杂性。我们这里考虑经典动力系统族f_t(z)=z^2+t， 也就是对每个固定的参数t，f_t是一个二次多项式动力系统。我们猜测对任意两个不同的的代数数a和b，使得a与b的f_t轨道有交集的所有参数t的高度是一致有界的。通过结合复动力系统与算术动力系统的工具，与合作者合作，我们证明了该猜测在一种重要情形下是成立的。 ..高度函数是算术动力系统中的重要研究工具，射影直线上的两个高度会形成一个能量对（energy pairing），可以看成这两个高度的某种距离的刻画。 除了研究高度函数的上界，我们还研究了高度函数对的下界。我们研究一族Lattes函数两两之间的Call-Silverman的典范高度能力对有一致下界，作为应用，我们证明这族Lattes函数公共预周期点个数有一致上界。