微分动力系统中的几个随机问题

In this project, we consider the topics in the intersection of differentiable dynamical system and random dynamical system, mainly focus on several random questions and random methods. We will investigate the stability of partially hyperbolic systems and the systems with dominated splitting under random perturbations. Moreover, we will consider the ingenious application of random methods in the study of the complexity for the smooth Z^k-actions. We hope our research can help people understand the dynamics clearly from different perspectives...This project involves three research aspects. (1) Study the topological stability and shadowing property of partially hyperbolic diffeomorphisms under random perturbation. (2) Investigate the stability of the invariant measures, including SRB measure and physical measure, for partially hyperbolic systems and the systems with dominated splitting, under Markov chain perturbations. (3) Consider the application of random methods in the study of Lyapunov exponents and entropy for the smooth Z^k-actions, and then obtain the continuity of the directional entropy.

本项目研究的内容隶属微分动力系统和随机动力系统的交叉领域，着重研究微分动力系统中的几个随机问题以及随机方法的运用。从几何和统计的角度分别研究部分双曲系统和具有控制分解的系统在随机扰动下的稳定性问题；寻求随机方法在光滑的Z^k作用的复杂性研究中的运用。期望通过这项研究为人们认识和理解微分动力系统的动力性态提供更多的视角和侧面。.. 本项目的主要研究内容包括：（1）研究部分双曲微分同胚在随机扰动下的拓扑稳定性和跟踪性；（2）研究部分双曲微分同胚或具有控制分解的微分同胚的重要不变测度，如SRB测度或具有物理意义的测度，在Markov链扰动下的稳定性；（3）探讨光滑Z^k-作用Lyapunov指数与方向熵的研究中随机方法的运用，得到方向熵的连续性。

本项目涉及的是微分动力系统和随机动力系统的交叉领域，着重研究了微分动力系统中的若干随机问题和随机方法。具体地，我们深入而系统地研究了部分双曲微分同胚的不稳定压与平衡态，随机部分双曲微分同胚的不稳定熵、不稳定压，光滑Z^k-作用的随机Lyapunov指数、方向熵与跟踪性，连续系统的原像熵与折叠熵、熵的局部理论等问题。得到的主要结果有..（1）研究了Z_+^-作用的方向熵和随机熵。得到了随机Lyapunov指数的计算公式，作为应用，得到了Z_+^-作用的方向熵和随机熵的公式。.（2）研究了随机部分双曲微分同胚的不稳定熵、不稳定压，得到了变分原理。.（3）研究了紧致度量空间上连续自映射的原像熵和折叠熵的关系，证明了在原像一致分离条件下两者是等价的。证明了原像熵的变分原理，并由此解决了原像熵研究课题中大家普遍关心的一个问题。对于光滑部分双曲自同态，研究了稳定拓扑熵和稳定测度熵，得到了变分原理。.（4）研究了随机动力系统的部分双曲集的拟跟踪性问题。应用分析和几何两种技术得到了随机部分双曲集附近具有拟跟踪性。.（5）研究了Z^k作用的跟踪性问题和方向熵，得到了具有跟踪性质的子系统的拓扑刻画，得到了方向熵的连续性以及变分原理。