有界变差函数空间中的几个变分问题

基本信息
批准号:11271025
项目类别:面上项目
资助金额:42.00
负责人:蒋美跃
学科分类:
依托单位:北京大学
批准年份:2012
结题年份:2016
起止时间:2013-01-01 - 2016-12-31
项目状态: 已结题
项目参与者:
关键词:
ROF泛函非凸变分问题有界变差函数
结项摘要

In this project, we study some variational problems in the space of functions of bounded variation (BV) arising from image processing and geometry via variational methods for non-smotth functionals such as convex functionals, Lipschitz functionals. The following problems will be investgated: explict formulas of the minimizers of the Rudin-Osher-Fatemi functional and its variants, eigenvalues and eigenfuctions of 1-Laplacian operator and its relations with respect to the minimizers of ROF type functionals, explicit formulas of the minimizers of the Mumford-Shah functional, geometric and analytic properties of the minimizers of these functionals, existence and multiplicity of non-minimal solutions of some non-convex variational problems such as the functionals asscoaited with the Perona-Malik model in image processing as well as other related problems, existence and multiplicity of solutions of the 1-dimensional prescribed mean curvature equation and 1-dimensional Perona-Malik equation in BV space.

本项目主要利用不光滑泛函的变分理论,如凸泛函,Lipschitz泛函的 临界点理论研究有界变差函数空间中的一些变分问题,如与图像处理有关的 Rudin-Osher-Fatemi类型泛函的极小问题,1-Laplace 算子的特征函数,特征值与ROF泛函的极小的关系, Mumford-Shah 泛函极小解的存在性,极小解的几何与分析性质,解析表达式等;非凸变分问题如 Perona-Malik 方程解的存在性,多重性; 与几何有关的预定平均曲率方程在有界变差函数空间中解的存在性,多重性等。目标是在ROF泛函, Mumford-Shah泛函极小解的解析表达式,解的分析与几何性质,方程解的存在性,多重性等方面取得一批有重要理论意义的研究成果。

项目摘要

本项目研究主要由以下两方面的内容组成. 1. 利用不光滑泛函的变分理论,如凸泛函,Lipschitz泛函的临界点理论研究有界变差函数空间中的一些变分问题,如图像处理中各种Rudin-Osher-Fatemi 型泛函的极小问题,1-Lapalce 方程,特别是1-Laplace 算子特征函数,特征值与Rudin-Osher-Fatemi 泛函的极小之间的关系,泛函极小的解析表达式,极小解的几何与分析性质等。这方面的结果主要有:对一些特殊区域,给出了一些输入函数极小解的解析表达式;对保真项为L^1 积分时各向异性Rudin-Osher-Fatemi 泛函建立了输入函数为1-Laplace算子特征函数时,极小解与特征函数的关系式,讨论了参数对极小解唯一性问题的影响,证明了一个极小唯一性结果;对图像修复中的Rudin-Osher-Fatemi 泛函给出了一些输入函数极小解, 我们得到了类似的结果的;另外我们还讨论了带非凸正则项的Rudin-Osher-Fatemi 型泛函的极小问题,指出了这类泛函的一些特殊性质。..2. L_p Minkowski 问题有关的几个问题,包括曲线流问题自相似解的存在性,1维Q-曲率方程的可解性,离散情形 L_p Minkowski 问题的可解性,2维一般测度情形 L_p Minkowski 问题的可解性。这方面的结果主要有:建立了2\pi周期情形仿射曲线流问题自相似解的存在性;利用变分方法,对p< 1情形,得到了一些2维 L_p Minkowski 问题的可解性结果;证明了高维多面体情形 L_p Minkowski 问题的一个可解性结果;对2维一般测度情形,研究了L_p Minkowski 问题及其对偶问题的可解性;给出了1维圆周上,曲率函数为\pi周期情形Q-曲率方程可解性的一个充分条件。

项目成果
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暂无此项成果

数据更新时间:2023-05-31

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