有界变差函数空间中的几个变分问题

In this project, we study some variational problems in the space of functions of bounded variation (BV) arising from image processing and geometry via variational methods for non-smotth functionals such as convex functionals, Lipschitz functionals. The following problems will be investgated: explict formulas of the minimizers of the Rudin-Osher-Fatemi functional and its variants, eigenvalues and eigenfuctions of 1-Laplacian operator and its relations with respect to the minimizers of ROF type functionals, explicit formulas of the minimizers of the Mumford-Shah functional, geometric and analytic properties of the minimizers of these functionals, existence and multiplicity of non-minimal solutions of some non-convex variational problems such as the functionals asscoaited with the Perona-Malik model in image processing as well as other related problems, existence and multiplicity of solutions of the 1-dimensional prescribed mean curvature equation and 1-dimensional Perona-Malik equation in BV space.

本项目主要利用不光滑泛函的变分理论，如凸泛函，Lipschitz泛函的 临界点理论研究有界变差函数空间中的一些变分问题，如与图像处理有关的 Rudin-Osher-Fatemi类型泛函的极小问题，1-Laplace 算子的特征函数，特征值与ROF泛函的极小的关系， Mumford-Shah 泛函极小解的存在性，极小解的几何与分析性质，解析表达式等；非凸变分问题如 Perona-Malik 方程解的存在性，多重性； 与几何有关的预定平均曲率方程在有界变差函数空间中解的存在性，多重性等。目标是在ROF泛函， Mumford-Shah泛函极小解的解析表达式，解的分析与几何性质，方程解的存在性，多重性等方面取得一批有重要理论意义的研究成果。

本项目研究主要由以下两方面的内容组成. 1. 利用不光滑泛函的变分理论，如凸泛函，Lipschitz泛函的临界点理论研究有界变差函数空间中的一些变分问题，如图像处理中各种Rudin-Osher-Fatemi 型泛函的极小问题，1-Lapalce 方程，特别是1-Laplace 算子特征函数，特征值与Rudin-Osher-Fatemi 泛函的极小之间的关系，泛函极小的解析表达式，极小解的几何与分析性质等。这方面的结果主要有：对一些特殊区域，给出了一些输入函数极小解的解析表达式；对保真项为L^1 积分时各向异性Rudin-Osher-Fatemi 泛函建立了输入函数为1-Laplace算子特征函数时，极小解与特征函数的关系式，讨论了参数对极小解唯一性问题的影响，证明了一个极小唯一性结果；对图像修复中的Rudin-Osher-Fatemi 泛函给出了一些输入函数极小解, 我们得到了类似的结果的；另外我们还讨论了带非凸正则项的Rudin-Osher-Fatemi 型泛函的极小问题，指出了这类泛函的一些特殊性质。..2. L_p Minkowski 问题有关的几个问题，包括曲线流问题自相似解的存在性，1维Q-曲率方程的可解性，离散情形 L_p Minkowski 问题的可解性，2维一般测度情形 L_p Minkowski 问题的可解性。这方面的结果主要有：建立了2\pi周期情形仿射曲线流问题自相似解的存在性；利用变分方法，对p< 1情形，得到了一些2维 L_p Minkowski 问题的可解性结果；证明了高维多面体情形 L_p Minkowski 问题的一个可解性结果；对2维一般测度情形，研究了L_p Minkowski 问题及其对偶问题的可解性；给出了1维圆周上，曲率函数为\pi周期情形Q-曲率方程可解性的一个充分条件。