不连续泛函微分方程理论及其应用研究

本项目一方面基于集值分析和非光滑分析理论，研究右端不连续以及状态不连续两种情形下不连续泛函微分方程的基本理论，包括初值问题解的定义方式和基本性质、平衡点和周期解的存在性和稳定性以及由时滞和参数变化引起的分岔和混沌等，特别是不连续泛函微分方程所具有的独特性质，如，有限时间收敛性以及由不连续引起的分岔和混沌等。既推广和改善现有的少量结果，又填补国内外不连续泛函微分方程理论研究的一些空白，从而建立不连续泛函微分方程研究的系统理论和方法。另一方面，把不连续泛函微分方程理论和研究方法应用于神经网络、可再生资源开发以及传染病防控等实际领域中。既深入研究一些具有实际背景的用不连续泛函微分方程刻画的数学模型的动力学性质，又针对现有的一些含不连续现象的实际动力学问题的连续数学模型进行合理修改，使之更符合客观实际，再对其深入研究。这些应用结果可以为有关领域的实际工作者和决策者提供理论指导。

在自然科学、社会科学和工程技术中，大量事物的发展变化规律都依赖于过去的状态，且是不连续的。因此，可以用不连续泛函微分方程来刻画它们的发展变化。目前，国内外对不连续泛函微分方程的理论和应用研究都很重视。在本项目中，我们采用微分包含理论和非光滑分析相结合的方法针对右端不连续和状态不连续的两类泛函微分方程开展了研究。我们获得了以下结果:（1） 研究了右端不连续泛函微分方程的初值问题。我们给出了右端不连续泛函微分方程初值问题解的定义。在此基础上，建立了关于右端不连续泛函微分方程解的局部存在性、唯一性、延拓和整体存在性等的一系列定理；（2）研究了右端不连续泛函微分方程的稳定性。给出了右端不连续泛函微分方程的各种稳定性定理、不变性原理和有限时间收敛性定理，并讨论了外界扰动对右端不连续泛函微分方程的稳定性的影响；（3）研究了区间不连续系统的动力学性质的鲁棒性。基于确定不连续系统某一动力学性质的条件，我们给出了相应的区间不连续系统同一动力学性质的鲁棒性准测；（4）研究了具有不连续激励函数的神经网络的动力学。我们考察了自治的、周期的、概周期的以及高阶的四类不连续神经网络平衡点、周期解和概周期解的存在性、全局稳定性以及有限时间收敛性等，得到了这些性质成立的一系列充分条件；（5）研究了不连续治疗策略下的传染病模型。我们能确定基本再生数、证实模型的适定性、刻画平衡点的结构并证明它们的稳定性\不稳定性和有限时间收敛性；（6）研究了不连续捕获策略下的渔业经济学模型。 我们刻画了平衡点的结构并证明了它们的局部和全局稳定性，给出了滑模解存在的充分条件；（7）研究了忆阻系统的动力学。建立了忆阻以及忆阻神经网络的精确的数学模型，在此基础上，讨论了忆阻神经网络的多稳定性、耗散性、无源性以及同步控制等。总之，我们进一步完善了不连续泛函微分方程的理论，并把理论应用于多个领域，为这些领域的实际工作者和决策者提供了理论方面的指导。