不连续泛函微分方程动力学行为与控制研究

Based on the theory of functional differential inclusions, we would like to study some key problems in the theory and applications of discontinuous functional differential equations. Firstly, we would investigate the existence and stability of equilibrium, periodic solution and almost periodic solution for discontinuous functional differential equations. In particular, we would study the existence and multistability of multiple equilibria and multiple periodic solutions. Secondly, we would consider the various stabilization control and synchronization control for unstable and chaotic discontinuous functional differential equations. Thirdly, we would study various stability and convergence behaviors of the Filippov solutions’ trajectories (such as robust stability, finite time stability). Meanwhile, we will introduce some new methods involving the theory of functional differential inclusions, set valued analysis, non-smooth critical point theory, the theory of non-smooth analysis and other modern mathematical tools. Moreover, to develop some new methods and techniques for studying dynamic behavior of discontinuous functional differential equations is also necessary. These new theories and methods will be effective to analyze some discontinuities in real applications and scientific practice. Therefore, this research not only enriches and develops some basic theory of discontinuous functional differential equations, but also provides effective method and theoretical basis to analyze and solve many practical problems with delay and/or discontinuity factors.

基于泛函微分包含理论，深入研究不连续泛函微分方程动力系统理论和应用研究中的一些关键问题。首先，我们考虑不连续泛函微分方程的平衡点、周期解和概周期解的存在性及其稳定性，尤其是多个平衡点和多个周期解的存在性及其多稳定性研究；其次，针对不稳定的、甚至是混沌的不连续泛函微分方程，我们考虑其稳定化与同步化控制；再次，我们考虑Filippov解轨线的各种稳定性与收敛性分析（如：鲁棒稳定性、有限时间稳定性）。主要研究方法包括：基于泛函微分包含理论、结合集值分析、非光滑临界点理论、非光滑分析等现代数学工具，并发展一些不连续泛函微分方程动力学行为研究的新方法和技巧。利用这些新发展的理论和方法，去分析实际生产和科学实践中的一些不连续现象，从而为解决这类实际问题提供有效的理论和方法。这些研究既能丰富和发展不连续泛函微分方程动力系统的理论研究，又能为分析和解决众多具时滞和不连续因素的实际问题提供可行的方法。

自本项目立项以来，基于泛函微分包含理论、结合集值分析、非光滑临界点理论、非光滑分析等现代数学工具， 并发展一些不连续泛函微分方程动力学行为研究的新方法和技巧，深入研究不连续泛函微分方程理论和控制应用研究中的一些关键问题，并得到了一系列的研究结果，这些结果大都发表在国际知名SCI源刊杂志上。这些研究结果为整个项目的顺利完成打下了坚实的基础，也达到了本项目所制定的预期目标。本项目的主要研究结果总结如下：.在理论研究方面，针对某些特殊背景的不连续泛函微分方程，基于泛函微分包含理论，分析其Filippov解的基本性质，如存在性、耗散性；针对不连续泛函微分方程刻画的特殊系统，发展了一些定性理论研究的新方法，如：发展集值分析一些不动点定理研究正周期解与多个周期解的存在性问题；针对不连续泛函微分方程稳定性及同步化问题，发展了一些稳定性理论研究的新方法，特别是发展了其有限时间稳定性和固定时间稳定性理论研究的方法。.在应用研究方面，针对神经网络、生物数学和自动控制等领域中一些具体的实际问题，利用不连续泛函微分方程对其进行数学建模，并利用之前理论上新得到的结果与新发展的研究方法和技巧，对这些实际问题的进行分析和研究，并为这类实际问题的分析和解决提供了有效的理论支撑和方案。.这些研究既能丰富和发展不连续泛函微分方程动力系统的理论研究体系，又能为分析和解决众多时滞和不连续因素的实际问题提供切实可行的方法。