右端不连续泛函微分方程的复杂动力学行为及其应用

In this thesis, in order to investigate some fundamental questions, complex dynamical behaviors and applications for functional differential equations with discontinuous right-hand sides, functional differential equations with discontinuous right-hand sides were regularized in view of functional differential inclusions. For functional differential equations with discontinuous right-hand sides, the main topics include, the local and global existence of solutions for initial valued problems, boundedness of solutions, the existence of equilibrium (multiple equalibria), periodic solution (multiple periodic solutions), and almost periodic solution, different kinds of stability for solutions, the convergence behaviors in finite time of the solutions, and so on. Our methods to be used involve the applications of set-valued analysis theory, functional differential inclusions theory, nonsmooth analysis theory and nonsmooth critical point theory, and some others. And some new methods are introduced to deal with the quantitative theory and stability theory of functional differential equations with discontinuous right-hand sides. By applying these new methods and theoretical results, we formulate different kinds of mathematical models in many areas, such as neural networks and mathmatical biology, which described by functional differential equations with discontinuous right-hand sides. This research not only enriches and develops some basic theory of differential equation with the discontinuous right-hand sides, but also provides effective method and theoretical basis to solve many practical problems with discontinuous character.

本项目利用泛函微分包含将右端不连续泛函微分方程正则化，研究右端不连续泛函微分方程解的一些基本性质、复杂动力学行为及其应用。主要研究内容包括：右端不连续泛函微分方程初值问题解的局部存在性和整体存在性、解的有界性、平衡点（多个平衡点）、周期解（多个周期解）、概周期解的存在性与各种稳定性、解轨线的有限时间收敛性等复杂动力学行为。主要研究方法包括：综合运用集值分析理论、泛函微分包含理论、非光滑分析理论、非光滑临界点理论等现代数学工具，并发展一些右端不连续泛函微分方程定性和稳定性理论研究的新方法。并利用这些新发展的方法与理论，来研究神经网络、生物数学等领域中一些用右端不连续泛函微分方程所刻画的数学模型。这些研究不仅丰富和发展了右端不连续泛函微分方程的基本理论，而且为分析和解决众多具不连续因素影响的实际问题提供有效方法和理论依据。

自本项目立项以来，针对科学和工程领域中的众多实际问题，我们利用右端不连续泛函微分方程进行建模，然后研究相应的右端不连续泛函微分方程解的一些基本性质和一些复杂的动力学行为，并得到了一系列的研究结果，这些结果都发表在国际知名SCI杂志上。这些研究结果为整个项目的顺利完成打下了坚实的基础，也达到了本项目所制定的预期目标。本项目的主要研究结果总结如下：.在神经网络领域，考虑到时滞的不可避免性以及神经元激励函数不连续的特点，我们研究具时滞和（一元和二元）不连续激励函数的神经网络系统。基于泛函微分包含理论和集值分析中的不动点理论，并发展非光滑分析中的广义Lyapunov泛函方法，讨论了该类不连续系统的Filippov解的一些基本性质和复杂动力学行为，如：Filippov解的局部存在性和全局存在性，周期解的存在性与稳定性，多个周期解的存在性，以及基于不连续激励的神经网络驱动-响应系统的同步化控制等问题。.在生物数学领域，我们考虑了几类具有不连续收获策略的生态系统，这些系统都可由右端不连续的泛函微分方程来刻画。基于泛函微分包含理论和集值拓扑度理论，并引进一些新颖的工具与方法来探讨这些不连续生态模型的Filippov解的基本性质及其一些复杂动力学行为，如：Filippov正解的存在性，周期解的存在性及其不存在性，概周期解的存在性及其稳定性等问题。