偏微分算子的逆谱问题

Inverse spectrum problem is one of the most important problems in geometric analysis and mathematical physics, which has been developed for more than one hundred years since it was proposed by physicist H. A. Lorentz in 1910. Inverse spectral problems have aroused great interest, a most main reason is that the inverse spectral problems are closely related to a large number of problems on analysis, geometry and mathematical physics, and have profound theoretical background and a wide range of applications. The research content of this project includes three parts: 1) try to give precise inverse spectral expansion formula for Stokes operator that corresponds to Stokes fluid equations; 2） try to give precise inverse spectral expansion formula for the Lame operator which corresponds to the Lame elastic mechanics equations; 3） try to give inverse spectral expansion formula for the Maxwell operator which corresponds to the Maxwell electromagnetic field equations. Futhermore, we hope to calculate the exact coefficients of corresponding expansion expressions as much as possible. By these formulas and the exact coefficients, the profound physical phenomena and laws hidden behind these basic mathematical physics equations are revealed.

逆谱问题是几何分析和数学物理中最重要的问题之一，这个问题自1910年由著名物理学家H. A. Lorentz提出以来已经有一百多年的发展历史了。逆谱问题之所以引起人们的极大兴趣，一个最主要的原因是与逆谱问题密切相关的一大批分析问题、几何问题及数学物理问题具有深刻的理论背景和相当广泛的应用。本项目的研究内容包括三个部分：1) 给出（相应于Stokes不可压缩流体方程的）Stokes算子的一般逆谱展开公式；2） 给出(相应于弹性力学方程的)Lame算子的一般逆谱展开公式；3） 给出（相应于Maxwell电磁场方程的）Maxwell算子的一般逆谱展开公式。并进一步算出相应展开式的尽可能多的精确系数表达式。通过这些展开公式及精确系数来揭示这些基本数学物理方程背后所隐藏的深刻物理现象和规律。

逆谱问题是几何分析和数学物理中最重要的问题之一，这个问题自1910年由著名物理学家H. A. Lorentz提出以来已经有一百多年的发展历史了。逆谱问题之所以引起人们的极大兴趣，一个最主要的原因是与逆谱问题密切相关的一大批分析问题、几何问题及数学物理问题具有深刻的理论背景和相当广泛的应用。本项目的研究内容包括三个部分：1) 给出（相应于Stokes不可压缩流体方程的）Stokes算子的一般逆谱展开公式；2）给出(相应于弹性力学方程的)Lame算子的一般逆谱展开公式；3）给出（相应于Maxwell电磁场方程的）Maxwell算子的一般逆谱展开公式。并进一步算出相应展开式的尽可能多的精确系数表达式。通过这些展开公式及精确系数来揭示这些基本数学物理方程背后所隐藏的深刻物理现象和规律。.本项目的重要结果是：a) 成功地解决了反问题领域中一个长期未解决的公开问题，即证明了弹性Lame算子边界DtN映象唯一确定内部Riemannian度量的问题和DtN映象谱的渐近公式的（热迹展开）；b) 彻底解决了Navier-Stokes方程中通过边界数据确定内部粘性系数的唯一性这个长期未解决的公开问题； c) 给出了平方Laplace算子的Steklov特征值计数函数的渐近展式，即用其Steklov谱（特征值）刻划区域的几何量（区域的体积）；d) 给出了不可压缩流体的Stokes算子以及弹性力学Lame算子的谱渐近展开（热迹渐进展开）公式，通过谱刻划了体积和表面积；e) 证明了边界切电场到切磁场的DtN映射完全确定了Maxwell电磁场的介电系数和磁导率，也完全确定了黎曼流形的度量曲率。这些成果在技术领域实际上是探测与反探测（隐形理论）问题的研究，具有极其重要的数学理论价值而且在技术领域里具有极其重要的应用价值。特别是其成果可应用在军事科学和国防工业领域中。