树状量子图上Sturm-Liouville算子谱及其逆问题研究

树状量子图上Sturm-Liouville算子(简称 TSL)源于电路及光子晶体等领域, 如何刻画TSL谱特征及由可观察特征数据重构算子是微分算子谱论的重要内容。本项目研究TSL的谱特征及其逆问题。建立TSL特征值函数递归式及量子图上Prüfer变换，分析TSL谱特征并给出其特征值渐近式；借助量子图上特征函数结点交织性，研究TSL特征函数振荡性并建立其结点渐近式；揭示TSL谱特征与量子图关系，利用变换算子理论研究TSL的Ambarzumyan型逆谱问题；构造TSL对应积分方程的核函数及矩阵型波动方程，研究TSL等谱问题,描述等谱量子图；由TSL特征函数结点数据给出逆结点问题唯一性定理及TSL未知参数的重构公式与算法，提供求解TSL逆问题新方法,分析逆问题解的稳定性。本项目的研究对于探索量子图的几何结构及丰富TSL谱理论、改进应用模型的设计方法、完成量子计算所需电路的制造与控制具有重要意义。

量子图是指在图的边上装备对称微分算式，在图的顶点处赋予边界条件使其成为一个自伴微分算子的几何图，其中树状量子图是量子图中一个重要类型。树状量子图上Sturm-Liouville算子(简称 TSL)源于电路及光子晶体等领域。本项目研究树状量子图上Sturm-Liouville 算子的谱及其逆问题。这是微分算子谱论的一个重要内容。.本项目主要研究内容：给出TSL的谱特征及其特征值渐近式；刻画TSL特征函数结点性质并建立TSL特征函数结点的渐近式；给出TSL的Ambarzumyan型问题完全刻画；描述与TSL具有等谱的特征值问题；提供一种求解逆结点问题的有效算法，运用这种算法仅由特征函数的结点数据去重构图及图上的势函数。. 本项目围绕TSL的谱结构、Ambarzumyan型逆谱问题、等谱问题和逆结点问题的研究，得到了下列研究结果：.(1) 得到TSL的谱特征并建立其特征值渐近式；刻画TSL特征函数结点性质并建立TSL特征函数结点的渐近式。.(2) 给出了TSL的Ambarzumyan型问题完全刻画。结果表明：在图上边界顶点处赋予Neumann边界条件，如果它的谱与自由势问题的谱一致，那么该问题的势函数必为零。.(3) 刻画与TSL具有等谱的特征值问题，给出图及势函数的相应描述。.(4) 给出逆结点问题唯一性定理，并且提供一种求解逆结点问题的有效算法，运用这种算法由特征函数的结点数据去重构图及图上的势函数。从理论上提供了由特征函数的稠结点集的一些关于势函数及边界条件未知参数的唯一性结果；从应用上给出了如何由实验测得的结点数据重构这些未知参数的有效算法。. 这些问题的解决，对于探索量子图的几何结构及丰富TSL的谱理论具有一定意义。