偏微分方程的超定性问题及Pompeiu 问题的研究

通过给出比偏微分方程的适定性问题更多的边界条件来确定有关的物理量或区域的几何性质是超定性问题的主要特点。本项目的研究内容包括密切相关的两部分：1) 解决在理论和应用上相当重要的四个偏微分方程的超定性问题（即超定边界条件的p-Newton势、超定边界条件的Monge-Ampere方程的主征值问题、超定波动方程和超定Schrodinger方程）； 2）研究超定性问题中最重要的Pompeiu问题（或等价的Schiffer猜想），得到Pompeiu 问题尽可能好的实质性进展和结果。本项目的研究将直接推动偏微分方程和相关学科的发展，具有重要的理论意义和潜在的应用价值。

本项目的主要内容是研究Pompeiu逆谱问题，更确切的说是通过研究特征值或特征函数来确定一个区域的形状或谱几何不变量。著名的Weyl渐近公式、Pompeiu问题（即Schiffer猜想）、第一特征值的等周不等式都属于逆谱问题。逆谱问题具有非常重要理论的意义和相当广泛的应用背景。通过课题组成员四年的努力，该项目的主要任务已经被全部完成，而且我们在其他方面取得了更多的研究成果。其主要科研成果是：. .1．给出了双调和Steklov特征值的Weyl渐进公式。通过这个公式我们能得到此n-维区域边界面的(n-1)-维体积（即谱几何不变量）。该成果发表在国际著名杂志《Advances in Mathematics》上（看该杂志的Vol. 228 (2011), 2162–2217）。.2．给出了Dirichlet-to-Neumann映象热迹算子的渐进展开公式，不仅给出了一般的展开方法而且给出了展开式前四项的系数。通过这个公式我们可以从Steklov特征值得知区域边界面的(n-1)-维体积、边界面的主曲率、边界面及整个区域在边界面上的Ricci曲率、标量曲率等谱几何不变量。该成果发表在国际著名数学杂志《Journal of Differential Equations》上（看该杂志Vol. 259 (2015) ,2499–2545）。.3. 完全解决了具有三十年之久的由著名数学家T. Aubin提出的一个未解决的问题，即给出双曲空间上的关于任意阶导数的最佳Sobolev不等式。这个不等式中的最佳常数密切联系着几何量，与研究高阶导数的Yamabe问题有关。该成果发表在国际著名数学杂志《Calculus of Variantions and PDE》上（看该杂志Vol. 47(2013), 567–588）。.4. 项目组成员杨洪苍教授给出了buckling特征值的一般不等式该，成果发表在国际著名数学杂志《Trans. Amer. Math. Soc.》上（看该杂志Vol.364(2012), 6139-6158）；项目组成员保继光教授给出了Lame弹性方程解的梯度估计，其成果发表在国际著名数学杂志《Arch. Ration Mech. Anal.》上（看该杂志Vol. 215(2015), 307-351）。保继光教授也给出了2连通域上k-Hassian超定问题。