正则Sturm-Liouville算子逆谱问题的矩阵算法及收敛性研究

The study of inverse spectral problems of Sturm-Liouville operator is the interdiscipline of mathematics and structural mechanics, with many important applications in various areas of engineering. This project is concerned with matrix methods and their convergence for inverse spectral problems of regular Sturm-Liouville operator in vibration systems. In the case of separated boundary conditions, based on the theoretical results of inverse Sturm-Liouville problems, we plan to use precondition technology, isogeometric method and asymptotic correction to reduce the error. Also, by using multigrids, Anderson acceleration, together with theories and algorithms of matrix inverse eigenvalue problems and the characteristic analysis of the inherent structures of discrete matrices, we plan to design high-order inexact Newton-like algorithms. Symmetric extension and perturbation analysis of eigenvalues will be applied to estimate the errors of eigenvalues with correction under different boundary conditions. Then the convergence conditions of relevant algorithms can be simplified and the rate of convergence is established. Besides, convergence of our proposed algorithms can be proved with the asymptotic estimates for the eigenvalues of the operator and the error in the finite difference eigenvalue. Finally, we extend the correction method to the inverse Sturm-Liouville problems with boundary conditions dependent on the eigenparameter and then design fast and efficient algorithms and present theoretical analysis.

Sturm-Liouville算子逆谱问题是数学与结构力学的交叉，在诸多工程领域有重要应用。本项目拟研究振动系统中正则Sturm-Liouville算子逆谱问题的高效矩阵算法及其收敛性。针对边界条件不含谱参数的情形，拟结合该算子逆谱问题理论，采用预处理技术、等几何离散和特征值修正等方法，修正离散模型，缩小误差，并由此基于离散矩阵的结构特性分析及矩阵逆谱问题的理论与算法，运用多重网格技术、Anderson加速策略等设计高阶快速不精确牛顿型算法。拟采用对称延拓手段和扰动分析理论，给出不同边界条件下修正特征值的误差估计，简化相关算法的收敛性条件，给出收敛阶。同时利用该算子特征值的渐近展开式和数值特征值的离散误差，探索建立新算法的收敛性理论。基于上述研究，拟运用线性化方法，将特征值修正技术推广至边界条件含谱参数的情形，并结合多项式特征值逆问题的理论与算法，探索设计快速有效的矩阵算法并分析其收敛性。

Sturm-Liouville算子逆谱问题是数学与结构力学的交叉，在航空、航天、机械工程及土木工程等诸多领域具有重要应用。本项目研究了振动系统中正则Sturm-Liouville算子逆谱问题的高效矩阵算法及其收敛性。已取得的主要研究成果有：针对双谱情形下的Sturm-Liouville算子逆谱问题，考虑非均匀交错网格上的有限差分方法离散，并通过调整网格来修正离散模型，同时结合函数逼近来缩小误差，由此设计了快速有效的牛顿型矩阵算法并给出了收敛性分析。研究了离散过程中产生的非线性方程组的求解问题，基于修正GHSS算法，结合双参数GHSS的思想，构造了一类高效迭代法并证明了此算法的局部收敛性定理。针对已有矩阵算法，基于其离散矩阵的结构特性分析，结合不同边界条件下Sturm-Liouville算子特征值的性质及Dirichlet-Dirichlet边界条件下Sturm-Liouville算子修正特征值的误差估计，采用扰动分析理论，证明了Dirichlet-Neumann边界条件及 Neumann-Dirichlet 边界条件下Sturm-Liouville算子修正特征值的误差估计,并将其应用于相关矩阵算法的收敛性分析，同时结合牛顿型迭代法的理论，简化了相关算法的收敛性条件。项目组发表2篇SCI论文，1篇在投。研究成果丰富和发展了逆谱问题的算法和理论。