高维动力系统复杂性与混沌机制研究

Chaos is an important research direction of nonlinear sciences. Chaos in 3-dimensional autonomous dynamical systems has been intensively and extensively studied and has been found to have practical applications in the engineering field. However, how chaos is generated in high-dimensional autonomous system and stochastic system as well as how it is applied to fields such as electric engineering and communication security is a novel research direction. Based on methods of qualitative theory in dynamics, this project will focus on studying: (1) how a chaotic system with arbitrarily any number of equilibrium points is constructed, and how its dynamical behavior is analyzed, with the aim to understand fundamental dynamical characteristics and properties; (2) how degenerate heteroclinic or homoclinic orbits result in chaos in high-dimensional systems, with the aim to reveal the essential mechanism of generating chaos in these systems; (3) how distributed chaos is generated in infinite systems, with the aim to reveal how chaos is generated in a distribution sense; (4) how bifurcation and chaos in random systems (including those with fractional-order Brown motion or driven by Levy processes) are generated, with the aim to uncover the essential correlation between stochastic bifurcation and chaos. These studies may not only enrich the content of chaos dynamics but also lay a theoretical foundation for chaos applications.

混沌是非线性科学的一个重要研究方向。三维自治动力系统中的混沌已被广泛研究了，并找到了它在工程等领域的实际应用。然而，高维自治系统或随机系统中混沌是如何产生的，以及它如何应用于电子工程、保密通信等领域，是一个全新的研究方向。本项目基于动力学定性理论方法将主要研究：(1) 如何构造具有任意给定多个平衡点的混沌系统，又如何分析其动力学行为，目的是理解高维混沌系统的基本动力学特征与性质；（2）高维自治系统中奇异退化同宿轨和奇异退化异宿环分别是如何导致混沌的，目的是揭示此类动力系统中混沌产生的本质机制；（3）无穷维系统中分布混沌是如何产生的，目的揭示分布意义下混沌的产生机制；（4）随机系统（包括分数阶的Brown运动和Levy过程驱动的混沌系统）的分支和混沌是如何产生的，目的是揭示随机混沌与随机分叉之间的内在关联。本项目的研究不仅可以丰富混沌动力学的内容，而且可以进一步为混沌的实际应用奠定理论基础。

本项目分别构建结构简单但具有任意给定平衡点的3维混沌系统和具有无穷多个混沌吸引子三维解析系统，得到广义Langford系统周期轨、异宿轨、环体及分支等行为，并深入分析它们的复杂动力学。在系统无平衡点、或具有有限个平衡点、或具有无穷多个孤立平衡点或具有无穷多个非孤立平衡点情形下，分别探讨n(n=4,5,6,7)维2次多项式微分系统恰好具有n-2个正Lyapunov 指数的的n(n>3)维超混沌系统的构建，发现了6类新的自激励超混沌或隐藏超混沌系统，获得这些高维系统奇异退化异宿环、吸引子共存的多稳态以及相应系统动力学的性质，探讨相应的高维自治混沌系统中分支与奇异退化异宿轨可能诱导混沌的机理。严格证明三类分片仿射系统奇异环和一类四维分片仿射系统的同宿环的存在判据，获得类似Silnikov型同宿或异宿混沌的存在性，证明无穷维线性算子的分布n-混沌和双曲PDE混合初-边值系统的混沌存在性，提出自由半群作用的测度熵、拓扑熵和拓扑r-熵等概念，并深入研究它们动力学性质，由此探讨无穷维动力系统中混沌的产生机理。讨论分数阶混沌系统的动力学复杂性，研究随机噪声(包括分数阶的Brown运动、G-Brown运动和Levy过程)扰动下的随机动力系统的 Lyapunov 指数和随机稳定的特性，在非Markov框架等下深入研究粗糙随机格点动力系统的依轨道解，获得随机系统双加权伪概自守解等的判定，探讨G-Brown框架下随机系统等随机稳定性或定性结构的复杂性特征，建立一系列随机中立型随机稳定判据，获得一些典型模型的随机动力学特性。项目一定程度上探讨了有限维系统的混沌机理，并将三维混沌动力系统的理论与方法扩充和推广了到高维或无穷维动力系统的动力学行为的研究中。深入探究随机动力学与随机稳定之间的内在关联，获得一些高维动力系统的混沌与随机复杂性可能构成机理，并有新的突破。